Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Решение пределов онлайн
Найти интеграл онлайн Геометрический смысл Несобственные интегралы
Диф уравнения онлайн Вычисление объёмов Неопределенный интеграл

Интегрирование по частям

Пусть U(x) и V(x) - дифференцируемые функции. Тогда d(U(x)V(x)) = U(x)dV(x) + V(x)dU(x). Поэтому U(x)dV(x) = d(U(x)V(x)) – V(x)dU(x). Вычисляя интеграл от обеих частей последнего равенства, с учетом того, что d(U(x)V(x))=U(x)V(x)+C, получаем соотношение
Интегрирование по частям
называемое формулой интегрирования по частям. Понимают его в том смысле, что множество первообразных, стоящее в левой части, совпадает со множеством первообразных, получаемых по правой части.
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word.


dx

Также рекомендуется изучить сервис вычисление интегралов онлайн
Примеры
x^2/(x+2)
cos2(2x+π)(cos(2*x+pi))^2
x+(x-1)^(2/3)

Применение метода интегрирования по частям

В связи с особенностями нахождения определенных величин, формулу интегрирования по частям очень часто используют в следующих задачах:
  1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Формула для нахождения математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины включает в себя два сомножителя: функцию полинома от x и плотность распределения f(x).
  2. Разложение в ряд Фурье. При разложении необходимо определять коэффициенты, которые находятся интегрированием от произведения функции f(x) и тригонометрической функции cos(x) или sin(x).

Типовые разложения по частям

Вид интегралаРазложения на части
Pn(x)cos(ax)dx, Pn(x)sin(ax)dx, Pn(x)eaxdx, где Pn(x) - некоторый полином (многочлен) степени nU(x)=Pn(x), dV(x)=cos(ax)dx
ln(P(x))dxU=ln(P(x)); dV=dx
arcsin(ax)dxU=arcsin(ax); dV=dx
U=ln(x); dV=dx/x
При использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать U и dV, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы находился легче. Положим в первом примере U=ex, dV=xdx. Тогда dU=exdx, и Вряд ли интеграл x2exdx можно считать проще исходного.
Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например, при вычислении интеграла x2sin(x)dx.

Интегралы eaxcos(bx)dx и eaxsin(bx)dx называются циклическими и вычисляются с использованием формулы интегрирования по частям два раза.

Пример №1. Вычислить xexdx.
Положим U=x, dV=exdx. Тогда dU=dx, V=ex. Поэтому xexdx=xex-exdx=xex-ex+C.

Пример №2. Вычислить xcos(x)dx.
Полагаем U=x, dV=cos(x)dx. Тогда dU=dx, V=sin(x) и xcos(x)dx=xsin(x) - sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Пример №3. (3x+4)cos(x)dx
Решение:

Ответ: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C