Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством: Дисперсия непрерывной случайной величины

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x), либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x).

Инструкция. Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x).
Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x), D(x).

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x), производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть [x, x + Δx) — интервал произвольно малой длины Δx > 0. Вероятность попадания случайной величины в этот интервал приближенно равна произведению значения плотности распределения в точке x на длину этого интервала: f(x)Δx, то есть вероятность пропорциональна длине интервала, причем коэффициент пропорциональности равен значению плотности распределения в точке x (рис.).

Вероятность попадания случайной величины в интервал длины Δx
Числовые характеристики непрерывной случайной величины находятся по формулам, похожим на формулы для дискретной случайной величины, но везде знак суммы заменяется на знак интеграла, а вероятность pi на дифференциальный элемент вероятности f(x)dx.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно
Дисперсия непрерывной случайной величины есть
Все свойства математического ожидания и дисперсии, сформулированные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Пример №1. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
f(x) = dF(x)/dx = 1/4
Математическое ожидание.


Дисперсия.


Среднеквадратическое отклонение.

Пример №2. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид


где a - параметр.
Для непрерывной случайной величины X найти: а) значение параметра a, при котором f(x) является плотностью распределения случайной величины X; б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание Mx и дисперсию Dx; г) P{X≥1,5}.
Построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Пример №3. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения f(x). Найти величину с, интегральную функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Примечание. Очень часто при нахождении математического ожидания и дисперсии применяют формулу интегрирования по частям.