Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X, заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m=M[X]=∑xipi, если ряд сходится абсолютно.

Назначение сервиса. С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X).

Укажите количество данных
Если данные представлены в виде корреляционной таблицы, то необходимо воспользоваться этим сервисом. Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel.

Свойства математического ожидания случайной величины

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C, C – постоянная;
  2. M[C•X]=C•M[X]
  3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M[X+Y]=M[X]+M[Y]
  4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[X•Y]=M[X]•M[Y], если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

  1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
  2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k2D(X).
  3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
  4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
  5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
    D(X)=M(X2)-(M(X))2

Пример. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7.
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритм вычисления математического ожидания

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.
  1. Поочередно умножаем пары: xi на pi.
  2. Складываем произведение каждой пары xipi.
    Например, для n = 4: m = ∑xipi = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны.

Пример №1.

xi 1 3 4 7 9
pi 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 12*0.1 + 32*0.2 + 42*0.1 + 72*0.3 + 92*0.3 - 5.92 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Пример №2. Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Х -10 -5 0 5 10
р а 0,32 2a 0,41 0,03
Найти величину a, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Величину a находим из соотношения: Σpi = 1
Σpi = a + 0,32 + 2a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3a = 1
0.76 + 3a = 1 или 0.24=3a, откуда a = 0.08

Пример №3. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х1<x2<x3<x4
x1=6; x2=9; x3=x; x4=15
p1=0,3; p2=0,3; p3=0,1; p4=0,3
d(x)=12,96

Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x):
d(x) = x12p1+x22p2+x32p3+x42p4-m(x)2
где матожидание m(x)=x1p1+x2p2+x3p3+x4p4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3*0,1+15*0,3=9+0.1x3
12,96 = 620,3+920,3+x320,1+1520,3-(9+0.1x3)2
или -9/100 (x2-20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x3=8, x3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х1<x2<x3<x4
x3=12

Закон распределения дискретной случайной величины
x1=6; x2=9; x3=12; x4=15
p1=0,3; p2=0,3; p3=0,1; p4=0,3