Корреляционная таблица
Назначение сервиса. С помощью сервиса по заданной корреляционной таблице можно найти:- коэффициент регрессии, средние значения, дисперсии, среднеквадратическое отклонение, ковариацию;
- параметры выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным (уравнение регрессии y на x и x на y);
Пример 1. По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X. Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y.
| y/x | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 100 | 2 | 2 | ||||
| 120 | 4 | 3 | 10 | 3 | ||
| 140 | 2 | 50 | 7 | 10 | ||
| 160 | 1 | 4 | 3 | |||
| 180 | 1 | 1 |
Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле
а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:
где xx, y - выборочные средние величин x и y, σx, σy - выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ2x = (152(1 + 1) + 202(2 + 4 + 1) + 252(4 + 50) + 302(3 + 7 + 3) + 352(2 + 10 + 10) + 402(2 + 3))/103 - 27.9612 = 30.31
σ2y = (1002(2 + 2) + 1202(4 + 3 + 10 + 3) + 1402(2 + 50 + 7 + 10) + 1602(1 + 4 + 3) + 1802(1 + 1))/103 - 136.8932 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
и 
Определим коэффициент корреляции:
где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 - 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):
и уравнение x(y):
Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.
Пример 2. По данным корреляционной таблицы найти условные средние y и x. Оценить тесноту линейной связи между признаками x и y и составить уравнения линейной регрессии y по x и x по y. Сделать чертеж, нанеся его на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Корреляционная таблица:
| X / Y | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 1 | 5 | 4 | 2 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 6 | 3 | 3 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
Дисперсии:
σ2x = (22(5) + 42(4 + 6) + 62(2 + 3 + 1) + 82(3 + 2) + 102(3 + 1))/30 - 5.532 = 6.58
σ2y = (12(5 + 4 + 2) + 22(6 + 3 + 3) + 32(1 + 2 + 3) + 52(1))/30 - 1.932 = 0.86
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 2.57 и σy = 0.93
и ковариация:
Cov(x,y) = (2•1•5 + 4•1•4 + 6•1•2 + 4•2•6 + 6•2•3 + 8•2•3 + 6•3•1 + 8•3•2 + 10•3•3 + 10•5•1)/30 - 5.53 • 1.93 = 1.84
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
и вычисляя, получаем:
yx = 0.28 x + 0.39
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
и вычисляя, получаем:
xy = 2.13 y + 1.42
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.53; 1.93) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=30-m-1 = 28 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.
Пример 3. Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо:
1. Вычислить групповые средние i и j x y, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α= 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.
Скачать решение
Пример. По корреляционной таблице рассчитать ковариацию и коэффициент корреляции, построить прямые регрессии.
Пример 4. Найти выборочное уравнение прямой Y регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.
Решение находим с помощью калькулятора.
Скачать
Пример №4
Пример 5. С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.
Решение.
Пример №5
Пример №6
Пример №7
Пример 6. Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки (x;y)б рассчитанные по таблице данных.
Решение.
Скачать решение
Пример 7. Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y - усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.
| X / Y | 0 | 2 | 7 | 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 37 | 42 |
| 0 | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 25 | 108 | 44 | 8 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 30 | 50 | 60 | 21 | 5 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 11 | 33 | 32 | 13 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 5 | 5 | 13 | 13 | 7 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 1 | 2 | 12 | 6 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 6 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Решение.
Скачать решение
Пример 8. По заданной корреляционной таблице определить групповые средние количественных признаков X и Y. Построить эмпирические и теоретические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:
- Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направления связи между переменными.
- Определить линии регрессии и построить их графики.