Пример нахождения коэффициента корреляции

Другие варианты формул:
или

К_xy - корреляционный момент (коэффициент ковариации)

Для нахождения линейного коэффициента корреляции Пирсона необходимо найти выборочные средние x и y, и их среднеквадратические отклонения σ_x = S(x), σ_y = S(y):

Рассчитать свое значение

Свойства коэффициента корреляции

1. |r_xy| ≤ 1;, -1≤x≤1
2. если X и Y независимы, то r_xy=0, обратное не всегда верно;
3. если |r_xy|=1, то Y=aX+b, |r_xy(X,aX+b)|=1, где a и b постоянные, а ≠ 0;
4. |r_xy(X,Y)|=|r_xy(a₁X+b₁, a₂X+b₂)|, где a₁, a₂, b₁, b₂ – постоянные.

Поэтому для проверки направления связи выбирается проверка гипотезы при помощи коэффициента корреляции Пирсона с дальнейшей проверкой на достоверность при помощи t-критерия (пример см. ниже).

• Шаг №1
• Шаг №2
• Решение
• Инструкция

Пример №1. На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(1) = 4.01*1 + 99.18 = 103.19
y(2) = 4.01*2 + 99.18 = 107.2
... ... ...

Значимость коэффициента корреляции

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии





S_a=0.2152

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 7
(122.4;132.11)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается (18.63>2.228).

Статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается (62.62>2.228).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими (t_табл=2.228):
(a - t_табл·S_a; a + t_табл·S _a)
(3.6205;4.4005)
(b - t_табл·S_b; b + t_табл·S_b)
(96.3117;102.0519)

2) F-статистики

см. также Корреляционный анализ. Примеры решения задач.

Пример №2
1. Расчет средних значений x, y:
x = ∑x_in = 660.611 = 60.05
y = ∑y_in = 333.9411 = 30.36
x·y=∑x_i·y_in=19952.0711= 1813.82
2. Расчет дисперсий:
S²(x) =x_i²n-x²=40337.211- 60.05²= 60.47
S²(y) =y_i²n-y²=10329.5211- 30.36²= 17.43
3. Расчет среднеквадратических отклонений:
S(x) =√S²(x)=√60.47= 7.78
S(y) =√S²(y)=√17.43= 4.17
4. Расчет линейного коэффициента корреляции Пирсона:
r_xy=x·y-x·yS(x)·S(y)=1813.82-60.05·30.367.78·4.17= -0.2872 Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < r_xy < 0.3: слабая;
0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r_xy < 0.7: заметная;
0.7 < r_xy < 0.9: высокая;
0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и обратная.

Значимость линейного коэффициента корреляции Пирсона.
t_набл= r_xy·√n-2√1-r_xy²= 0.2872·√9√1-0.2872²= 0.9
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=n-m-1=11-1-1=9 находим t_крит: t_крит(n-m-1;α/2) = t_крит(9;0.025) = 2.262, где m=1 - количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции Пирсона признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим
В парной линейной регрессии t²_r = t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Интервальная оценка для линейного коэффициента корреляции Пирсона
(r_xy- t_крит·1-r_xy²√n;r_xy+ t_крит·1-r_xy²√n)
Доверительный интервал для коэффициента корреляции
(0.29 - 2.262·1-0.29²√11;0.29 + 2.262·1-0.29²√11)
Доверительный интервал для линейного коэффициента корреляции Пирсона: r(-0.9129;0.3386)

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример нахождения доверительных интервалов коэффициентов регрессии

Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Постройте уравнение зависимости экспорта нефти от цены на нефть.
3. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и уравнения в целом.
4. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Таблица 5

Решение:

Уравнение имеет вид y = ax + b
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения

Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции.

Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая
Уравнение регрессии

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии





S _a = 0.4906
Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 1
(-587.75;179.86)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (7.32>1.812)

Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (1.46<1.812)
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими (t_табл=1.812):
(a - t_табл·S _a; a + t_табл·S_a)
(2.7006;4.4786)
(b - t_табл·S _b; b + t_табл·S_b)
(-465.5454;50.4796)
2) F-статистики


Fkp = 4.96
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Индекс детерминации


т.е. в 87.35 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая