Аналитическое выравнивание ряда по гиперболе
Гиперболическое уравнение тренда имеет вид y = a/t + b. Для расчетов используют метод замены переменных и приводят уравнение к видуy = at' + b, где t' = 1/t.
Точечный коэффициент эластичности:
. Средний коэффициент эластичности: 
.
Пример. 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов с помощью калькулятора Аналитическое выравнивание
.
Система уравнений
Для наших данных система уравнений имеет вид
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = 80.78, a1 = 23.65
Уравнение тренда
y = 80.78 / t + 23.65
Оценим качество уравнения тренда с помощью абсолютной ошибки аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения
Дисперсия
Среднеквадратическое отклонение
Индекс детерминации
т.е. в 56.66 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - средняя
| 1/t | y | t2 | y2 | t•y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t))2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)) : y |
| 1 | 80 | 1 | 6400 | 80 | 104.43 | 1653.78 | 596.61 | 0.65 | 1954.05 |
| 0.5 | 79 | 0.25 | 6241 | 39.5 | 64.04 | 1573.44 | 223.89 | 0.09 | 1182.07 |
| 0.33 | 75 | 0.11 | 5625 | 25 | 50.57 | 1272.11 | 596.61 | 0.02 | 1831.93 |
| 0.25 | 70 | 0.06 | 4900 | 17.5 | 43.84 | 940.44 | 684.19 | 0 | 1831 |
| 0.2 | 65 | 0.04 | 4225 | 13 | 39.8 | 658.78 | 634.84 | 0 | 1637.74 |
| 0.17 | 60 | 0.03 | 3600 | 10 | 37.11 | 427.11 | 523.88 | 0 | 1373.31 |
| 0.14 | 39 | 0.02 | 1521 | 5.57 | 35.19 | 0.11 | 14.53 | 0 | 148.66 |
| 0.13 | 35 | 0.02 | 1225 | 4.38 | 33.75 | 18.78 | 1.57 | 0 | 43.9 |
| 0.11 | 30 | 0.01 | 900 | 3.33 | 32.62 | 87.11 | 6.88 | 0.01 | 78.72 |
| 0.1 | 25 | 0.01 | 625 | 2.5 | 31.73 | 205.44 | 45.24 | 0.01 | 168.16 |
| 0.09 | 20 | 0.01 | 400 | 1.82 | 30.99 | 373.78 | 120.82 | 0.01 | 219.84 |
| 0.08 | 10 | 0.01 | 100 | 0.83 | 30.38 | 860.44 | 415.35 | 0.01 | 203.8 |
| 0.08 | 13 | 0.01 | 169 | 1 | 29.86 | 693.44 | 284.34 | 0.01 | 219.21 |
| 0.07 | 19 | 0.01 | 361 | 1.36 | 29.42 | 413.44 | 108.54 | 0.02 | 197.95 |
| 0.07 | 29 | 0 | 841 | 1.93 | 29.03 | 106.78 | 0 | 0.02 | 0.98 |
| 0.06 | 14 | 0 | 196 | 0.88 | 28.7 | 641.78 | 216.01 | 0.02 | 205.76 |
| 0.06 | 20 | 0 | 400 | 1.18 | 28.4 | 373.78 | 70.56 | 0.02 | 168 |
| 0.06 | 25 | 0 | 625 | 1.39 | 28.14 | 205.44 | 9.84 | 0.02 | 78.41 |
| 3.5 | 708 | 1.59 | 38354 | 211.16 | 708 | 10506 | 4553.72 | 0.91 | 11543.47 |
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
S a = 17.1358
Доверительные интервалы для зависимой переменной
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 0
23.65 + 80.78/0 - 1.746*29.93 ; 23.65 + 80.78/0 - 1.746*29.93
(-6.28;53.58)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 80.78/19 + 23.65 = 27.9
K1 = 48.37
27.9 - 48.37 = -20.47 ; 27.9 + 48.37 = 76.27
Интервальный прогноз:
t = 19: (-20.47;76.27)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается.
Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими (tтабл=1.746):
(a - tтабл·Sa; a + tтабл·Sa)
(50.8578;110.6961)
(b - tтабл·Sb; b + tтабл·Sb)
(14.7539;32.5434)
2) F-статистика. Критерий Фишера.
Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.
| y | y(x) | ei = y-y(x) | e2 | (ei - ei-1)2 |
| 80 | 104.43 | -24.43 | 596.61 | 0 |
| 79 | 64.04 | 14.96 | 223.89 | 1551.45 |
| 75 | 50.57 | 24.43 | 596.61 | 89.55 |
| 70 | 43.84 | 26.16 | 684.19 | 3 |
| 65 | 39.8 | 25.2 | 634.84 | 0.92 |
| 60 | 37.11 | 22.89 | 523.88 | 5.32 |
| 39 | 35.19 | 3.81 | 14.53 | 363.92 |
| 35 | 33.75 | 1.25 | 1.57 | 6.54 |
| 30 | 32.62 | -2.62 | 6.88 | 15.04 |
| 25 | 31.73 | -6.73 | 45.24 | 16.83 |
| 20 | 30.99 | -10.99 | 120.82 | 18.2 |
| 10 | 30.38 | -20.38 | 415.35 | 88.14 |
| 13 | 29.86 | -16.86 | 284.34 | 12.37 |
| 19 | 29.42 | -10.42 | 108.54 | 41.52 |
| 29 | 29.03 | -0.03 | 0 | 107.84 |
| 14 | 28.7 | -14.7 | 216.01 | 215.02 |
| 20 | 28.4 | -8.4 | 70.56 | 39.65 |
| 25 | 28.14 | -3.14 | 9.84 | 27.71 |
| 4553.72 | 2603.02 |
Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
