Аналитическое выравнивание ряда по экспоненте
Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид y=a·ebt. Оно является частным случаем показательного тренда. Для расчета по МНК уравнение приводят к виду:ln(y)=ln(a)+b·t
Характеристика параметра k=e экспоненциального тренда выражается в среднем ускорении изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени.
Пример. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений
a0·n+a1·∑t=∑y
a0·∑t+a1∑t²=∑y·t
Для наших данных система уравнений имеет вид
18a0+171a1=62.45
171a0+2109a1=542.14
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.11, a1 = 4.47
Уравнение тренда: y = 87.61e-0.11t
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации: 
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент детерминации: 
т.е. в 70.77 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая
| t | ln(y) | t2 | y2 | t·y | y(t) | (y-y)2 | (y-y(t))2 | (t-tp)2 | (y-y(t)) : y |
| 1 | 4.38 | 1 | 19.2 | 4.38 | 4.37 | 0.83 | 0 | 72.25 | 0.06 |
| 2 | 4.37 | 4 | 19.09 | 8.74 | 4.26 | 0.81 | 0.01 | 56.25 | 0.47 |
| 3 | 4.32 | 9 | 18.64 | 12.95 | 4.16 | 0.72 | 0.03 | 42.25 | 0.7 |
| 4 | 4.25 | 16 | 18.05 | 16.99 | 4.05 | 0.61 | 0.04 | 30.25 | 0.84 |
| 5 | 4.17 | 25 | 17.43 | 20.87 | 3.94 | 0.5 | 0.05 | 20.25 | 0.96 |
| 6 | 4.09 | 36 | 16.76 | 24.57 | 3.84 | 0.39 | 0.07 | 12.25 | 1.04 |
| 7 | 3.66 | 49 | 13.42 | 25.64 | 3.73 | 0.04 | 0 | 6.25 | 0.26 |
| 8 | 3.56 | 64 | 12.64 | 28.44 | 3.63 | 0.01 | 0.01 | 2.25 | 0.26 |
| 9 | 3.4 | 81 | 11.57 | 30.61 | 3.52 | 0 | 0.01 | 0.25 | 0.41 |
| 10 | 3.22 | 100 | 10.36 | 32.19 | 3.42 | 0.06 | 0.04 | 0.25 | 0.64 |
| 11 | 3 | 121 | 8.97 | 32.95 | 3.31 | 0.22 | 0.1 | 2.25 | 0.95 |
| 12 | 2.3 | 144 | 5.3 | 27.63 | 3.21 | 1.36 | 0.82 | 6.25 | 2.08 |
| 13 | 2.56 | 169 | 6.58 | 33.34 | 3.1 | 0.82 | 0.29 | 12.25 | 1.37 |
| 14 | 2.94 | 196 | 8.67 | 41.22 | 2.99 | 0.28 | 0 | 20.25 | 0.15 |
| 15 | 3.37 | 225 | 11.34 | 50.51 | 2.89 | 0.01 | 0.23 | 30.25 | 1.61 |
| 16 | 2.64 | 256 | 6.96 | 42.22 | 2.78 | 0.69 | 0.02 | 42.25 | 0.38 |
| 17 | 3 | 289 | 8.97 | 50.93 | 2.68 | 0.22 | 0.1 | 56.25 | 0.95 |
| 18 | 3.22 | 324 | 10.36 | 57.94 | 2.57 | 0.06 | 0.42 | 72.25 | 2.08 |
| 171 | 62.45 | 2109 | 224.33 | 542.14 | 62.45 | 7.63 | 2.23 | 484.5 | 15.21 |
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
S a = 0.0165
Доверительные интервалы для зависимой переменной
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
87.61 e-0.11*10 - 1.746*0.65 ; 87.61 e-0.11*10 + 1.746*0.65
(29.82;31.12)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество
наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого
показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для
уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 87.61 e-0.11*19 = 11.78
K1 = 1.3
11.78 - 1.3 = 10.48 ; 11.78 + 1.3 = 13.08
Интервальный прогноз:
t = 19: (10.48;13.08)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается.
Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими (tтабл=1.746):
(a - tтабл·Sa; a + tтабл·Sa)
(-0.1343;-0.0769)
(b - tтабл·Sb; b + tтабл·Sb)
(87.3017;87.9238)
2) F-статистика. Критерий Фишера.
Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.
| y | y(x) | ei= y-y(x) | e2 | (ei-ei-1)2 |
| 4.38 | 4.37 | 0.01 | 0 | 0 |
| 4.37 | 4.26 | 0.11 | 0.01 | 0.01 |
| 4.32 | 4.16 | 0.16 | 0.03 | 0 |
| 4.25 | 4.05 | 0.2 | 0.04 | 0 |
| 4.17 | 3.94 | 0.23 | 0.05 | 0 |
| 4.09 | 3.84 | 0.26 | 0.07 | 0 |
| 3.66 | 3.73 | -0.07 | 0 | 0.11 |
| 3.56 | 3.63 | -0.07 | 0.01 | 0 |
| 3.4 | 3.52 | -0.12 | 0.01 | 0 |
| 3.22 | 3.42 | -0.2 | 0.04 | 0.01 |
| 3 | 3.31 | -0.32 | 0.1 | 0.01 |
| 2.3 | 3.21 | -0.9 | 0.82 | 0.35 |
| 2.56 | 3.1 | -0.54 | 0.29 | 0.14 |
| 2.94 | 2.99 | -0.05 | 0 | 0.24 |
| 3.37 | 2.89 | 0.48 | 0.23 | 0.28 |
| 2.64 | 2.78 | -0.14 | 0.02 | 0.39 |
| 3 | 2.68 | 0.32 | 0.1 | 0.21 |
| 3.22 | 2.57 | 0.65 | 0.42 | 0.11 |
| 0 | 0 | 0 | 2.23 | 1.85 |
Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
