Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение

Пример нахождения коэффициента детерминации

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей вариации (дисперсии) y.

Коэффициент детерминации рассчитывается для оценки качества подбора уравнения регрессии. Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 50%. Модели с коэффициентом детерминации выше 80% можно признать достаточно хорошими. Значение коэффициента детерминации R2 = 1 означает функциональную зависимость между переменными.

Для линейной зависимости коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции rxy: R2 = rxy2.

Например, значение R2 = 0.83, означает, что в 83% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами, точность подбора уравнения регрессии - высокая.

В общем случае, коэффициент детерминации находится по формуле: Коэффициент детерминации или
В этой формуле указаны дисперсии:
,
где ∑(y-y) - общая сумма квадратов отклонений;
- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
- остаточная сумма квадратов отклонений.

В случае нелинейной регрессии коэффициент детерминации рассчитывается через этот калькулятор. При множественной регрессии, коэффициент детемрминации можно найти через сервис Множественная регрессия

Пример. Дано:

Следует выполнить: 1. построить поле корреляции и сформировать гипотезу о возможной форме и направлении связи; 2. рассчитать параметры уравнений линейной и A1; 3. выполнить расчет прогнозного значения результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят B2 % от их среднего уровня; 4. оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации, проанализировать их значения; 5. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом; 6. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений; 7. Оценить надежность уравнений в целом через F-критерий Фишера для уровня значимости а = 0,05. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 5,6 и данном пункте, выберете лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Уравнение имеет вид y = ax + b
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения


Дисперсия.


Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции.

Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая.
Уравнение регрессии

Коэффициент детерминации для линейной регрессии равен квадрату коэффициента корреляции.
R 2= 0.91 2 = 0.83, т.е. в 83% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая

xyx 2y 2x ∙ yy(x)(y-y cp) 2(y-y(x))2(x-x p) 2
15.1 255 228.01 65025 3850.5 505.26 527451.17 62630.22 420.25
17 261 289 68121 4437 549.38 518772.07 83161.41 345.96
12 293 144 85849 3516 433.28 473699.53 19678.51 556.96
10 310 100 96100 3100 386.84 450587.75 5904.58 655.36
74 1425 5476 2030625 105450 1872.88 196906.67 200600 1474.56
83 1985 6889 3940225 164755 2081.86 1007497.33 9381.6 2246.76
85 2549 7225 6497401 216665 2128.3 2457813.93 176990.6 2440.36
81 2012 6561 4048144 162972 2035.42 1062428.38 548.49 2061.16
22 1562 484 2439844 34364 665.47 337260.88 803758.38 184.96
10 386 100 148996 3860 386.84 354332.48 0.71 655.36
4 383 16 146689 1532 247.52 357913.03 18353.53 998.56
14.1 354.1 198.81 125386.81 4992.81 482.04 393327.58 16368.87 462.25
427.2 11775.1 27710.82 19692405.81 709494.31 11775.1 8137990.81 1397376.9 12502.5
2. Оценка параметров уравнения регрессии
Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (10;0.05) = 1.812
Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии





S a = 3.3432
Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 1
(-557.64;913.38)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t aS a)
(17.1616;29.2772)
(b - t b S b; b + t bS b)
(-136.4585;445.7528)

2) F-статистики
Коэффициент детерминации

Fkp = 4.96
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим