Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов

Пример нахождения доверительных интервалов коэффициентов регрессии

В таблице 5 представлена динамика российского нефтяного экспорта и цены нефти марки 11га1з в 1997-2003 гг.

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Постройте уравнение зависимости экспорта нефти от цены на нефть.

3. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и уравнения в целом.

4. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Таблица 5

Годы

Цена нефти марки Urals (Россия), долл/барр.

Экспорт нефти и нефтепродуктов, млн.т.

1997

18,33

60,6

1998

11,83

53,8

1999

17,30

56,9

2000

26,63

61,9

2001

22,97

70,8

2002

23,73

75,0

2003

27,04

76,4

Решение:

Уравнение имеет вид y = ax + b
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения


 Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции
Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая
Уравнение регрессии
Уравнение регрессии
Коэффициент детерминации
R 2= 0.92 2 = 0.84, т.е. в 84% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая

x y x 2 y 2 x ∙ y y(x) (y-y cp) 2 (y-y(x))2 (x-x p) 2
119 298.12 14161 88875.53 35476.28 219.63 232120.8 6160.56 24362.01
203 481.03 41209 231389.86 97649.09 521.16 89328.76 1610.26 5196.01
281 539.12 78961 290650.37 151492.72 801.15 57979.42 68658.51 35.01
305 653.57 93025 427153.74 199338.85 887.3 15961.59 54628.94 895.01
381 987.66 145161 975472.28 376298.46 1160.11 43160.41 29738.57 11218.34
363 1252.85 131769 1569633.12 454784.55 1095.5 223673.03 24760.35 7729.34
389 1276.88 151321 1630422.53 496706.32 1188.83 246980.01 7753.57 12977.01
387 1396.70 149769 1950770.89 540522.9 1181.65 380430.93 46248.04 12525.34
315 952.03 99225 906361.12 299889.45 923.19 29625.58 831.49 1593.34
217 619.96 47089 384350.4 134531.32 571.41 25583.74 2356.85 3373.67
149 384.40 22201 147763.36 57275.6 327.32 156427.5 3258.23 15897.01
192 516.59 36864 266865.23 99185.28 481.67 69336.98 1219.24 6902.84
3301 9358.91 1010755 8869708.45 2943150.82 9358.91 1570608.75 247224.62 102704.92

2. Оценка параметров уравнения регрессии
Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (10;0.05) = 1.812
Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии





S a = 0.4906
Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 1
(-587.75;179.86)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t aSa)
(2.7006;4.4786)
(b - t b S b; b + tbSb)
(-465.5454;50.4796)
2) F-статистики


Fkp = 4.96
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Уравнение тренда имеет вид y = at2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений

Для наших данных система уравнений имеет вид (см. таблицу).

Получаем a0 = -11.37, a1 = 88.47, a2 = 2151.09
Уравнение тренда
y = -11.37t2+88.47t+2151.09
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.


Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение

Индекс детерминации


т.е. в 87.35 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая

t y t2 y2 x ∙ y y(t) (y-y cp)2 (y-y(t))2 (t-t p)2 (y-y(t)) : y t3 t4 t2 y
1 2225.3 1 4951960.09 2225.3 2228.19 65.6099 8.352 16 6431.117 1 1 2225.3
2 2254.9 4 5084574.01 4509.8 2282.55 462.25 764.5225 9 62347.985 8 16 9019.6
3 2332.3 9 5439623.29 6996.9 2314.17 9781.21 328.6969 4 42284.599 27 81 20990.7
4 2365.8 16 5597009.64 9463.2 2323.05 17529.76 1827.5625 1 101137.95 64 256 37852.8
5 2295.4 25 5268861.16 11477 2309.19 3844 190.1641 0 31653.566 125 625 57385
6 2303.9 36 5307955.21 13823.4 2272.59 4970.25 980.3161 1 72135.109 216 1296 82940.4
7 2166.7 49 4694588.89 15166.9 2213.25 4448.89 2166.9025 4 100859.885 343 2401 106168.3
8 2080.4 64 4328064.16 16643.2 2131.17 23409 2577.5929 9 105621.908 512 4096 133145.6
9 2075.9 81 4309360.81 18683.1 2026.35 24806.25 2455.2025 16 102860.845 729 6561 168147.9
45 20100.6 285 44981997.26 98988.8 20100.51 89317.2199 11299.312 60 625332.964 4050 30666 1235751.2


2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда




S a = 4.8518
Доверительные интервалы для зависимой переменной
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (7;0.05) = 1.895
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 6
2151.09 + 88.47*6 + -11.37*62 - 1.895*39.911 ; 2151.09 + 88.47*6 + -11.37*62 - 1.895*39.911
(-55.3814;95.8814)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = -11.37*102 + 88.47* + 2151.09 = 1898.79
K1 = 247.4924
1898.79 - 247.4924 = 1651.2976 ; 1898.79 + 247.4924 = 2146.2824
t = 10: (1651.2976;2146.2824)
Точечный прогноз, t = 11: y(11) = -11.37*112 + 88.47* + 2151.09 = 1748.49
K2 = 261.9213
1748.49 - 261.9213 = 1486.5687 ; 1748.49 + 261.9213 = 2010.4113
t = 11: (1486.5687;2010.4113)
Точечный прогноз, t = 12: y(12) = -11.37*122 + 88.47* + 2151.09 = 1575.45
K3 = 278.0099
1575.45 - 278.0099 = 1297.4401 ; 1575.45 + 278.0099 = 1853.4599
t = 12: (1297.4401;1853.4599)
Точечный прогноз, t = 13: y(13) = -11.37*132 + 88.47* + 2151.09 = 1379.67
K4 = 295.4871
1379.67 - 295.4871 = 1084.1829 ; 1379.67 + 295.4871 = 1675.1571
t = 13: (1084.1829;1675.1571)
Точечный прогноз, t = 14: y(14) = -11.37*142 + 88.47* + 2151.09 = 1161.15
K5 = 314.1213
1161.15 - 314.1213 = 847.0287 ; 1161.15 + 314.1213 = 1475.2713
t = 14: (847.0287;1475.2713)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.


Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t a S a)
(-20.5642;-2.1758)
(b - t b S b; b + t b S b)
(36.7313;140.2087)
2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 5.32
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
2225.3 2228.19 -2.89 8.3521 0
2254.9 2282.55 -27.65 764.5225 613.0576
2332.3 2314.17 18.13 328.6969 2095.8084
2365.8 2323.05 42.75 1827.5625 606.1444
2295.4 2309.19 -13.79 190.1641 3196.7716
2303.9 2272.59 31.31 980.3161 2034.01
2166.7 2213.25 -46.55 2166.9025 6062.1796
2080.4 2131.17 -50.77 2577.5929 17.8084
2075.9 2026.35 49.55 2455.2025 10064.1024
11299.3121 24689.8824




Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.