Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Ранговый коэффициент корреляции характеризует общий характер нелинейной зависимости: возрастание или убывание результативного признака при возрастании факторного. Это показатель тесноты монотонной нелинейной связи.

Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора производится расчет коэффициента ранговой корреляции Кендэла по всем основным формулам, а также оценка его значимости.

Инструкция. Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word.

Скачать пример оформления

Предложенный Кендэлом коэффициент строится на основе отношений типа «больше –меньше», справедливость которых установлена при построении шкал.
Выделим пару объектов и сравним их ранги по одному признаку и по другому. Если по данному признаку ранги образуют прямой порядок (т.е. порядок натурального ряда), то паре приписывается +1, если обратный, то –1. Для выделенной пары соответствующие плюс – минус единицы (по признаку X и по признаку Y) перемножаются. Результат, очевидно, равен +1; если ранги пары обоих признаков расположены в одинаковой последовательности, и –1, если в обратной.
Если порядки рангов по обоим признакам у всех пар одинаковы, то сумма единиц, приписанных всем парам объектов, максимальна и равна числу пар. Если порядки рангов всех пар обратны, то –C²_N. В общем случае C²_N = P + Q, где P – число положительных, а Q – отрицательных единиц, приписанных парам при сопоставлении их рангов по обоим признакам.
Величина $коэффициент Кендалла$ называется коэффициентом Кендалла.
Из формулы видно, что коэффициент τ представляет собой разность доли пар объектов, у которых совпадает порядок по обоим признакам (по отношению к числу всех пар) и доли пар объектов, у которых порядок не совпадает .
Например, значение коэффициента 0,60 означает, что у 80% пар порядок объектов совпадает, а у 20% не совпадает (80% + 20% = 100%; 0,80 – 0,20 = 0,60). Т.е. τ можно трактовать как разность вероятностей совпадения и не совпадения порядков по обоим признакам для наугад выбранной пары объектов.
В общем случае расчет τ (точнее Р или Q) даже для N порядка 10 оказывается громоздким.
Покажем, как упростить вычисления.

$упрощенная формула коэффициента ранговой корреляции Кендалла$
$упрощенная формула коэффициента Кендэла$

Пример. Зависимость между объемом промышленной продукции и инвестициями в основной капитал по 10 областям одного из федеральных округов РФ в 2003 году характеризуется следующими данными:

Область	Объем промышленной продукции, млрд руб.	Инвестиции в основной капитал, млрд руб.
Белгородская	64,6	10,22
Брянская	21,5	4,12
Владимирская	51,1	8,58
Воронежская	54,4	14,79
Ивановская	20,6	2,88
Калужская	35,7	7,24
Костромская	18,4	5,57
Курская	37,1	9,67
Липецкая	90,6	10,45
Смоленская	39,8	10,48

Вычислите ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендэла. Проверить их значимость при α=0,05. Сформулируйте вывод о зависимости между объемом промышленной продукции и инвестициями в основной капитал по рассматриваемым областям РФ.

Решение. Присвоим ранги признаку Y и фактору X.
Расположим объекты так, чтобы их ранги по X представили натуральный ряд. Так как оценки, приписываемые каждой паре этого ряда, положительные, значения «+1», входящие в Р, будут порождаться только теми парами, ранги которых по Y образуют прямой порядок.
Их легко подсчитать, сопоставляя последовательно ранги каждого объекта в ряду Y с стальными.
Упорядочим данные по X.
В ряду Y справа от 3 расположено 7 рангов, превосходящих 3, следовательно, 3 породит в Р слагаемое 7.
Справа от 1 стоят 8 ранга, превосходящих 1 (это 2, 4, 6, 9, 5, 10, 7, 8), т.е. в Р войдет 8 и т.д. В итоге Р = 37 и с использованием формул имеем:

X	Y	ранг X, d_x	ранг Y, d_y	P	Q
18.4	5.57	1	3	7	2
20.6	2.88	2	1	8	0
21.5	4.12	3	2	7	0
35.7	7.24	4	4	6	0
37.1	9.67	5	6	4	1
39.8	10.48	6	9	1	3
51.1	8.58	7	5	3	0
54.4	14.79	8	10	0	2
64.6	10.22	9	7	1	0
90.6	10.45	10	8	0	0
				37	8

По упрощенным формулам:

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н₁: τ ≠ 0,надо вычислить критическую точку:

где n - объем выборки; z_kp - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице функции Лапласа по равенству Ф(z_kp)=(1—α)/2.
Если |τ| < T_kp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками незначима. Если |τ| > T_kp — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.
Найдем критическую точку z_kp
Ф(z_kp) = (1-α)/2 = (1 - 0.05)/2 = 0.475
По таблице Лапласа находим z_kp = 1.96
Найдем критическую точку:

Так как τ > T_kp — отвергаем нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам значимая.

Пример. По данным об объеме строительно-монтажных работ, выполненных собственными силами, и численности работающих в 10 строительных компаниях одного из городов РФ, определить зависимость между этими признаками с помощью коэффициента Кендела.

Решение находим с помощью калькулятора.
Присвоим ранги признаку Y и фактору X.
Расположим объекты так, чтобы их ранги по X представили натуральный ряд. Так как оценки, приписываемые каждой паре этого ряда, положительные, значения «+1», входящие в Р, будут порождаться только теми парами, ранги которых по Y образуют прямой порядок.
Их легко подсчитать, сопоставляя последовательно ранги каждого объекта в ряду Y с стальными.
Коэффициент Кендэла.
$tau = {P - Q}/{{1}/{2}N(N-1)}$
В общем случае расчет τ (точнее Р или Q) даже для N порядка 10 оказывается громоздким. Покажем, как упростить вычисления.
$tau = 1 - {4Q}/{N(N-1)}$
или
$tau = {4P}/{N(N-1)} - 1$
Решение.
Упорядочим данные по X.
В ряду Y справа от 2 расположено 8 рангов, превосходящих 2, следовательно, 2 породит в Р слагаемое 8.
Справа от 4 стоят 6 ранга, превосходящих 4 (это 7, 5, 6, 8, 9, 10), т.е. в Р войдет 6 и т.д. В итоге Р = 29 и с использованием формул имеем:

X	Y	ранг X, d_x	ранг Y, d_y	P	Q
38	292	1	2	8	1
50	302	2	4	6	2
52	366	3	7	3	4
54	312	4	5	4	2
59	359	5	6	3	2
61	398	6	8	2	2
66	401	7	9	1	2
70	298	8	3	1	1
71	283	9	1	1	0
73	413	10	10	0	0
				29	16

$tau = {29 - 16}/{{1}/{2}10(10-1)} = 0.29$
По упрощенным формулам:
$tau = 1 - {4 mul 16}/{10(10-1)} = 0.29$
$tau = {4 mul 29}/{10(10-1)} - 1 = 0.29$
Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н₁: τ ≠ 0,надо вычислить критическую точку:
$T_{kp} = z_{kp} sqrt{{2(2n+5)}/{9n(n-1)}}$
где n - объем выборки; z_kp - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице функции Лапласа по равенству Ф(z_kp)=(1 — α)/2.
Если |τ| < T_kp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками незначима. Если |τ| > T_kp — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.
Найдем критическую точку z_kp
Ф(z_kp) = (1 - α)/2 = (1 - 0.05)/2 = 0.475
По таблице Лапласа находим z_kp = 1.96
Найдем критическую точку:
$T_{kp} = 1.96 sqrt{{2(2 mul 10+5)}/{9 mul 10(10-1)}} = 0.49$
Так как τ < T_kp — принимаем нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Правила ввода данных

Поиск

Процесс

Сообщение