Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Коэффициент Спирмена Коэффициент Кендалла
Коэффициент конкордации Коэффициент контингенции Группировка данных
Показатели вариации Доверительный интервал Различие средних

Однофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ представляет собой систему понятий и технических приемов, позволяющих обобщить процедуру сравнения двух средних для двух выборок, взятых из генеральных совокупностей с нормальным распределением, на случай большого числа выборок.

Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора можно:

Инструкция. Укажите число измерений (количество строк) q, количество уровней фактора p нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word.
Число измерений Количество уровней фактора

Данная процедура обычно используется для отбора значимых факторов для построения множественного уравнения регрессии.

см. также Двухфакторный дисперсионный анализ, Проверка статистических гипотез

Пример. Изделие железнодорожного транспорта с целью испытания на надежность эксплуатируется q раз, i=1,...q на p уровнях времени работы Tj , j=1,..., p. В каждом испытании подсчитываются числа отказов nij. На уровне значимости α = 0,05 исследовать влияние времени работы изделия на число появления отказов методом однофакторного дисперсионного анализа при q=4, p=4. Результаты испытаний nij представлены в таблицах.
Решение.
Процедура однофакторного дисперсионного анализа. Находим групповые средние:

NП1П2П3П4
1 145210 195155
2140200190150
3 150190 240180
4190195210175
x156.25198.75 208.75165

Обозначим р - количество уровней фактора (р=4). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=4.
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое групповых средних:
(1)
На разброс групповых средних процента отказа относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы.
Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной S2ф, а вторая - остаточной S2ост.
С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней:
Rобщ = ∑∑(xij-x) (2)
и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора:
Rф = q·(xij-x)
Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении Rобщ групповой средней для данного фактора.
Остаточная сумма квадратов отклонений получается как разность:
Rост = Rобщ - Rф
Для определения общей выборочной дисперсии необходимо Rобщ разделить на число измерений pq:

а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на pq/(pq-1):

Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии:

где p-1 - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии.
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина:

Так как отношение двух выборочных дисперсий S2ф и S2ост распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение fнабл сравнивают со значением функции распределения

в критической точке fкр, соответствующей выбранному уровню значимости a.
Если fнабл>fкр, то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.
Для расчета Rнабл и Rф могут быть использованы также формулы:
(4)

Находим общую среднюю по формуле (1):
Для расчета Rобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:
NП21П22П23П24
1 2102544100 3802524025
219600400003610022500
3 2250036100 5760032400
436100380254410030625
99225158225 175825109550

Общая средняя вычисляется по формуле (1):

Rобщ = 99225 + 158225 + 175825 + 109550 - 4 • 4 • 182.192 = 11748.44
Находим Rф по формуле (5):
Rф = 4(156.252 + 198.752 + 208.752 + 1652) - 4 • 182.192 = 7792.19
Получаем Rост: Rост = Rобщ - Rф = 11748.44 - 7792.19 = 3956.25
Определяем факторную и остаточную дисперсии:

Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.
Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать не справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф оказывает существенное влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H0: равенство средних значений х.
Находим fнабл

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 12 находим fкр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.
fкр(0.05; 3; 12) = 3.49
В связи с тем, что fнабл > fкр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем.

Пример №2. Студентов 1-го курса опрашивали с целью выявления занятий, которым они посвящают свое свободное время. Проверьте, различаются ли распределение вербальных и невербальных предпочтений студентов.
Находим групповые средние:
групповые средние

NП1П2
112 17
21819
323 25
4107
515 17
x15.617
Обозначим р - количество уровней фактора (р=2). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=5.
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое групповых средних:
            (1)
На разброс групповых средних процента отказа относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы.
Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной S2ф, а вторая - остаточной S2ост.
С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней:
Rобщ=∑∑(xij-x)
и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора:
Rф=q∑(xij-x)
Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении Rобщ групповой средней для данного фактора.
Остаточная сумма квадратов отклонений получается как разность:
Rост = Rобщ - Rф
Для определения общей выборочной дисперсии необходимо Rобщ разделить на число измерений pq:

а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на pq/(pq-1):

Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии:

где p-1 - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии.
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина:

Так как отношение двух выборочных дисперсий S2ф и S2ост распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение fнабл сравнивают со значением функции распределения

в критической точке fкр, соответствующей выбранному уровню значимости a.
Если fнабл>fкр, то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.
Для расчета Rнабл и Rф могут быть использованы также формулы:
Rобщ=xij²-x², (4)
Rф=q∑xj²-x², (5)
Находим общую среднюю по формуле (1):
Для расчета Rобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:
NП21П22
1144 289
2324361
3529 625
410049
5225 289
13221613

Общая средняя вычисляется по формуле (1):

Rобщ  = 1322 + 1613 - 5 • 2 • 16.32 = 278.1
Находим Rф по формуле (5):
Rф = 5(15.62 + 172) - 2 • 16.32 = 4.9
Получаем Rост: Rост = Rобщ - Rф = 278.1 - 4.9 = 273.2
Определяем факторную и остаточную дисперсии:
факторная дисперсия
остаточная дисперсия
Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.
Оценка факторной дисперсии меньше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать  справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф не оказывает существенного влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H0: равенство средних значений х.
Находим fнабл

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 1 и 8 находим fкр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.
fкр(0.05; 1; 8) = 5.32
В связи с тем, что  fнабл < fкр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов отклоняем.
Другим словами, распределение вербальных и невербальных предпочтений студентов различаются.

Задание. На заводе установлено четыре линии по выпуску облицовочной плитки. С каждой линии случайным образом в течение смены отобрано по 10 плиток и сделаны замеры их толщины (мм). Отклонения от номинального размера приведены в таблице. Требуется на уровне значимости a = 0,05 установить наличие зависимости выпуска качественных плиток от линии выпуска (фактор A).

Задание. На уровне значимости a = 0,05 исследовать влияние цвета краски на срок службы покрытия.

Пример №1. Произведено 13 испытаний, из них – 4 на первом уровне фактора, 4 – на втором, 3 – на третьем и 2 на четвертом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в таблице.

Решение:
Находим групповые средние:

NП1П2П3П4
11.381.411.321.31
21.381.421.331.33
31.421.441.34-
41.421.45--
5.65.723.992.64
x1.41.431.331.32
Обозначим р - количество уровней фактора (р=4). Число измерений на каждом уровне равно: 4,4,3,2
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общая средняя вычисляется по формуле:

Для расчета Sобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:
NП21П22П23П24
11.91.991.741.72
21.92.021.771.77
32.022.071.8-
42.022.1--
7.848.185.313.49
Общую сумму квадратов отклонений находят по формуле:
Находим Sф по формуле:


Получаем Sост: Sост = Sобщ - Sф = 0.0293 - 0.0263 = 0.003
Определяем факторную дисперсию:

и остаточную дисперсию:

Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.
Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать не справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф оказывает существенное влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H0: равенство средних значений х.
Находим fнабл

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 12 находим fкр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.
fкр(0.05; 3; 12) = 3.49
В связи с тем, что fнабл > fкр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем (нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем). Другими словами, групповые средние в целом различаются значимо.

Пример №2. В школе 5 шестых классов. Психологу ставится задача, определить, одинаковый ли средний уровень ситуативной тревожности в классах. Для этого были приведены в таблице. Проверить уровень значимости α=0.05 предположение, что средняя ситуативная тревожность в классах не различается.

Пример №3. Для изучения величины X произведено 4 испытания на каждом из пяти уровней фактора F. Результаты испытаний приведены в таблице. Выяснить, существенно ли влияние фактора F на величину X. Принять α = 0.05. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Пример №4. Предположим, что в педагогическом эксперименте участвовали три группы студентов по 10 человек в каждой. В группах применили различные методы обучения: в первой – традиционный (F1), во второй – основанный на компьютерных технологиях (F2), в третьей – метод, широко использующий задания для самостоятельной работы (F3). Знания оценивались по десятибалльной системе.
Требуется обработать полученные данные об экзаменах и сделать заключение о том, значимо ли влияние метода преподавания, приняв за уровень значимости α=0.05.
Результаты экзаменов заданы таблицей, Fj – уровень фактора xij – оценка i-го учащегося обучающегося по методике Fj.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Уровень фактора Fj F1 7 5 6 4 6 7 8 6 5 7
F2 9 8 10 8 7 10 10 9 7 6
F3 6 7 6 6 9 5 7 8 7 8

Пример №5. Показаны результаты конкурсного сортоиспытания культур (урожайность в ц.с га). Каждый сорт испытывался на четырех участках. Методом дисперсионного анализа изучите влияние сорта на урожайность. Установите существенность влияния фактора (долю межгрупповой вариации в общей вариации) и значимость результатов опыта при уровне значимости 0,05.
Урожайность на сортоиспытательных участках

Сорт Урожайность по повторностям ц. с га
1 2 3 4
1
2
3
42,4
52,5
52,3
37,4
50,1
53,0
40,7
53,8
51,4
38,2
50,7
53,6