Проверка статистических гипотез

Назначение сервиса. С помощью онлайн-калькулятора осуществляется:
  • проверка гипотезы о равенстве дисперсий, t-критерий Фишера;
  • проверка гипотезы о равенстве генеральных средних (математических ожиданий), t-критерий Стьюдента;
  • проверка равенства дисперсий по критерию Кохрена.
Инструкция. Для расчета необходимо указать размерность исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word (Пример).
Количество данных в 1-й выборке
Количество данных во 2-й выборке
Известны выборочные дисперсии

Пример №1. Проведены измерения пульса у n1=10 больных, подвергнутых некоторой лечебной процедуре, а также у n2=12 больных контрольной группы. Статистическая обработка результатов показала, что несмещенная оценка дисперсии частоты пульса больных первой группы составила S12 (уд/мин)2, у больных второй группы – S22 (уд/мин)2. Предполагая, что значения пульса у подобных больных распределены по нормальному закону, при уровне значимости α=0.05 проверить значимость различия между оценками дисперсий. Пример №2. По двум независимым малым выборкам, объемы которых 12 и 18, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены x и y и дисперсии D(X) и D(Y). Требуется при уровне значимости γ=0,05 проверить нулевую гипотезу H0: M(X)=M(Y) при конкурирующей гипотезе H1: M(X)≠M(Y)

Проверка гипотезы о значении дисперсии генеральной совокупности

Из нормально распределенной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = . Требуется проверить нулевую гипотезу H0 о том, что генеральной совокупности D = равна числу : H0: D = σ02
Альтернативная гипотеза: D σ02. Уровень значимости α
Точность наладки станка-автомата, производящего некоторые детали, характеризуется дисперсией длины деталей. Если эта величина больше 400 мкм2, станок останавливают для наладки. Выборочная дисперсия длины 15 случайно отобранных деталей из продукции станка оказалась равной D=680 мкм2. Нужно ли проводить наладку станка, если уровень значимости α=0.01.

Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормально распределённых генеральных совокупностей.
В данном случае при уровне значимости α нужно проверить гипотезу Н0: D(Х) = D(Y). Статистикой служит случайная величина , имеющая распределение Фишера – Снедекора с f1 = nб – 1 и f2 = nм – 1 степенями свободы ( – большая дисперсия (максимальная из двух), объём её выборки nб). Определяется соответствующее экспериментальное (наблюдаемое) значение Fэкс. Критическое значение Fкр при альтернативной гипотезе Н1: D(Х) > D(Y) находится из таблицы критических точек распределения Фишера – Снедекора по уровню значимости α и числу степеней свободы f1 и f2. Нулевая гипотеза принимается, если Fэкс < Fкр.

Пример. Из первого нарезного оружия было произведено 8 выстрелов. При этом измерялись начальные скорости пуль. Получены следующие результаты: 902,4;901,3;898,4;903,5;901,1; 900,4;899,7; 900,3 (м/с). Из второго оружия было произведено 7 выстрелов. Скорости вылета пуль оказались равны 905,5; 910,3;903,8;902,4; 899,9;903,3; 905,6 (м/с).
Для обеих выборок вычислите среднее, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найдите размах варьирования, среднее абсолютное (линейное) отклонение, коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции.
Предполагая, что данная случайная величина имеет нормальное распределение, определите доверительный интервал для генеральной средней (в обоих случаях).
По критерию Фишера проверьте гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. По критерию Стьюдента проверьте гипотезу о равенстве генеральных средних (альтернативная гипотеза – об их неравенстве).
Во всех расчётах уровень значимости α = 0,05.

Решение. По формулам для первого оружия вычислим среднее значение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение:


, .

Используя калькулятор, находим для первого оружия другие характеристики вариации:

  • размах варьирования R = xmaxxmin = 903,5 – 898,4 = 5,1;
  • среднее абсолютное (линейное) отклонение
  • коэффициент вариации;
  • линейный коэффициент вариации
    ;
  • коэффициент осцилляции.

Для доверительной вероятности γ = 0,95 (уровень значимости α = 0,05) по таблице критических точек распределения Стьюдента при f = 8 – 1 = 7 степенях свободы находим значение коэффициента tg = 2,36. Тогда полуширина доверительного интервала
.
И с вероятностью g = 0,95 генеральное среднее начальной скорости пули лежит в интервале (900,89 ± 1,32) м/с или (899,57; 902,21) м/с.
Повторим все расчёты для второго оружия:


, .
R = ymaxymin = 905,5 – 899,9 = 5,6;

; ;
.

Для доверительной вероятности g= 0,95 (уровень значимости a = 0,05) по таблице критических точек распределения Стьюдента при f = 7 – 1 = 6 степенях свободы находим значение коэффициента tg = 2,45. Тогда полуширина доверительного интервала
.
И с вероятностью γ = 0,95 генеральное среднее начальной скорости пули лежит в интервале (902,69 ± 1,63) м/с или (901,03; 904,32) м/с.

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H0: Dx = Dy;
H1: Dx < Dy.
Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера .
f1 = nб – 1 = nу – 1 = 7 – 1 = 6 и f2 = nм – 1 = nх – 1 = 8 – 1 = 7 (числа степеней свободы). По таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора при уровне значимости α = 0,05 и данным числам степеней свободы находим Fкр = 3,87. Т.к. Fэкс < Fкр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних:
H0: ;
H1:
Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента

Число степеней свободы f = nх + nу – 2 = 8 + 7 – 2 = 13. По таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 2) при уровне значимости a = 0,05 и данному числу степеней свободы находим tкр = 2,16. Т.к. tэкс > tкр, то нулевая гипотеза отвергается, генеральные средние двух выборок не равны.