Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Как решать задачи по теории вероятностей

В данном разделе приведены онлайн-калькуляторы, с помощью которых решаются основные типовые задачи по теории вероятностей. Решение оформляется в формате Word.

Структура дисциплины ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

  1. Задачи про шары. Из урны, где находятся 4 белых и 8 бчерных шаров, случайно вытащены 5 шаров. Какова вероятность того, что среди них будет 2 белых шара?
  2. Испытания по схеме Бернулли: нахождение биноминального ряда распределения, по которому вычисляются матожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение
  3. Формула Пуассона: Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
  4. Закон распределения случайной величины. На прилавке находится 20 цветов, из которых 12 роз. Для букета отобраны 7 цветов. Найти вероятность того, что букет только из роз.
  5. Формула полной вероятности: какова вероятность того, что наугад выбранное изделие будет бракованным?
  6. Наивероятнейшее число событий: рассчитываются вероятности наступления некоторого события: наступит k раз; не менее k1 и не более k2 раз; событие наступит хотя бы один раз.
  7. Математическое ожидание дискретной случайной величины: нахождение дисперсии и среднеквадратического отклонения. найти математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ, если закон распределения случайной величины X задан таблицей:
    xi14568
    pi0,20,10,10,30,3
  8. Математическое ожидание непрерывной случайной величины: вычисление дисперсии и среднеквадратического отклонения по функции распределения Математическое ожидание непрерывной случайной величины
    Непрерывная случайная величина Х имеет плотность вероятности f(x). Требуется:
    1) найти математическое ожидание;
    2) найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
    3) найти функцию распределения вероятностей F(x);
    4) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения;
    5) найти вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал [a;b].

С помощью калькулятора Web2 можно быстро вычислить некоторые математические выражения.


Примечание:
  • 2nd - смена режима
  • const - список общепринятых констант (например, постоянная Авогадро, π, масса электрона, постоянная Планка и многие другие).
  • ncr - число сочетаний из n по m:
  • npr - Число размещений из n элементов по k:
  • ! - факториал.
  • mod - остаток от деления.
  • esc, C - сброс, очистка.

Структура дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Основная задача математической статистики – сделать научно обоснованные выводы о распределении одной или более неизвестных случайных величин или их взаимосвязи между собой.
  1. Корреляционная таблица. Распределение 175 элементов по признаку X и признаку Y дано в таблице. Найти: а) уравнение регрессии Y по X и X по Y; б) коэффициент корреляции между Y и X.
  2. Системы случайных величин: X и Y. Найти линейную среднюю квадратическую регрессию случайной величины Y на случайную величину X на основе заданного закона распределения двумерной случайной величины.
  3. Выборочный метод: оценка среднего значения, дисперсия, доверительные интервалы. Типы решаемых задач:
    • Задание 1. Для изучения количественного дискретного признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка. Требуется:
      • составить вариационный ряд;
      • найти статистическое распределение выборки в виде распределения частот, построить полигон частот;
      • найти распределение относительных частот и построить полигон относительных частот;
      • найти эмпирическую функцию распределения по данным вариационного ряда, построить график;
      • найти выборочную среднюю; найти выборочную дисперсию; найти «исправленную» выборочную дисперсию.
    • Задание 2. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема N.
  4. Доверительный интервал: для генерального среднего значения, для математического ожидания, для генеральной доли.
    Оценивается концентрация примеси некоторого вещества в исследуемом материале. Получены следующие результаты. Найти доверительные интервалы для средней концентрации данного вещества с надежностью 0,95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0,99. Принять, что результаты измерений распределены по нормальному закону.
  5. Уравнение регрессии: y = ax + b
    Пример №1. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Полагая, что x и y связаны зависимостью y = ax + b определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов.
    Пример №2. Экономист, изучая зависимость уровня издержек обращения Y (тыс. руб.) от объема товарооборота Х (тыс. руб.), обследовал 10 магазинов, торгующих одинаковым ассортиментом товаров, и получил следующие данные. Полагая, что между признаками X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определить выборочное уравнение линейной регрессии y(x) = b0 + b1(x - xср) и выборочный коэффициент линейной корреляции rxy. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать вывод о направлении и тесноте связи между признаками X и Y. Используя полученное уравнение линейной регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при х*=130 тыс. руб.
  6. Проверка гипотезы о виде распределения: нормальное распределение, распределение Пуассона, биномиальное распределение, показательное распределение, равномерное распределение. . Пример. Произведено N=200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итоге было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл.37 (в первом столбце указаны интервалы времени в минутах, во втором столбце — соответствующие частоты, т.е.число появлений события А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.
  7. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий и генеральных средних.
  8. Проверка статистических гипотез: гипотеза о генеральном среднем значении нормального распределения при не известной дисперсии.
  9. Однофакторный дисперсионный анализ: методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0.05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Пример. Для изучения величины X произведено 4 испытания на каждом из пяти уровней фактора F. Результаты испытаний приведены в таблице. Выяснить, существенно ли влияние фактора F на величину X. Принять α = 0.05. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.
  10. Двухфакторный дисперсионный анализ.