Наивероятнейшее число событий
Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства:np–q≤k0≤np+p
причем:
а) если число
n•p–q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0.
б) если число
n•p–q – целое, то существуют два наивероятнейших числа, а именно k0 и k0+1.
в) если число
n•p – целое, то наивероятнейшее число k0 = n•p.
где p - вероятность наступления события,
q=1-p
Назначение сервиса. С помощью данного сервиса рассчитываются следующие вероятности наступления некоторого события:
а) наступит k раз; б) не менее k1 и не более k2 раз;
в) событие наступит хотя бы один раз; г) каково будет наивероятнейшее число и соответствующая ему вероятность.
Инструкция. Заполните необходимые данные.
При решении задач в этом разделе будут полезны следующие рекомендации:
- если вероятность появления события A постоянна и число появлений события n ≤ 10, то следует воспользоваться формулой Бернулли;
- если вероятность появления события A постоянна, а количество независимых опытов неограниченно растет n → ∞, то следует воспользоваться теоремами Лапласа;
- если вероятность появления события мала p → 0, а количество независимых опытов неограниченно растет n → ∞, то следует воспользоваться формулой Пуассона;
Пример №1. Оптовая база снабжает товаром n магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна p для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня: а) поступит k заявок; б) не менее k1 и не более k2 заявок; в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?
| p | n | k | k1 | k2 |
| 0,8 | 18 | 6 | 5 | 13 |
Решение:
а) поступит kзаявок;
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа.
где
Найдем значение x:
Функция
четная, поэтому φ(-4,95) = φ(4,95) = 0,0000047851173921290
Искомая вероятность:
б) не менее k1 и не более k2 заявок;
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.
Pn(k1,k2) = Ф(x’’) – Ф(x’)
где Ф(x) – функция Лапласа.
P18(5,13) = Ф(-0,825) – Ф(-5,54) = -Ф(0,825) + Ф(5,54) = -0,2939 + 0,5 = 0,2061
в) поступит хотя бы одна заявка.
Найдем вероятность того, что не поступит ни одной заявки.
P18(6) = (1-p)18 = (1-0.8)18 = 0.218
Тогда вероятность того, что поступит хотя бы одна заявка равна:
q = 1–P = 1-0,218
Второй вариант решения. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа.
Найдем значение x:
Функция четная, поэтому φ(-8,49) = φ(8,49) = 2,28*10-16
Искомая вероятность:
q = 1 – P = 1 - 8,89*10-17
Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?
По условию, n = 18, p = 0,8, q = 0,2.
Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства:
18*0,8 – 0,2 ≤ k0 ≤18*0,8+ 0,8
или
14,2≤ k0 ≤15,2
Поскольку np –q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0 = 15.
Пример №3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что в серии из 4 выстрелов будет: а) хотя бы одно попадание; б) не менее трех попаданий; в) не более одного попадания.
Решение. Здесь n = 4, p = 0,8, q = 0, 2.
а) Найдем вероятность противоположного события — в серии из четырех выстрелов нет ни одного попадания в цель:
P4(0) = C40·p0·q4 = 0.24 = 0.0016
Отсюда находим вероятность хотя бы одного попадания в цель:
P4(k≥1) = 1-0.0016 = 0.9984
б) Событие B, заключающееся в том, что в серии из четырех выстрелов произошло не менее трех попаданий в цель, означает, что было либо три попадания (событие C), либо четыре (событие D), то есть B=C+D. Отсюда, P(B) = P(C) + P(D); следовательно,
P4(k≥3) = P4(3) + P4(4) = C43·p3·q1 + C44·p4·q0 = 4·0.83·0.2+0.84 = 0.8192
в) Аналогично вычисляется вероятность попадания в цель не более одного раза:
P4(k≤1) = P4(0) + P4(1) = 0.0016 + C41·p1·q3 = 0.0016+4·0.8·0.23 = 0.2576
Пример №4. В данной местности в среднем за год 75 солнечных дней. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет меньше, чем 200 солнечных дней.
Решение. Здесь n = 365, p=75/365 = 0.205