Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Наивероятнейшее число событий

Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства: np–q≤k0≤np+p
причем:
а) если число n•p–q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0.
б) если число n•p–q – целое, то существуют два наивероятнейших числа, а именно k0 и k0+1.
в) если число n•p – целое, то наивероятнейшее число k0 = n•p.
где p - вероятность наступления события, q=1-p

Назначение сервиса. С помощью данного сервиса рассчитываются следующие вероятности наступления некоторого события:
а) наступит k раз; б) не менее k1 и не более k2 раз; в) событие наступит хотя бы один раз; г) каково будет наивероятнейшее число и соответствующая ему вероятность.

Инструкция. Заполните необходимые данные.

Событие может наступить раз. Вероятность наступления этого события равна . Найти вероятность того, что событие:
наступит раз;
менее раз;
не менее раз;
более раз;
не более раз;
не менее и не более раз;
наступит хотя бы один раз.
Выводить в отчет:
Наивероятнейшее число;
Вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на .
Использовать формулу Бернулли теорему Лапласа (при больших n)

При решении задач в этом разделе будут полезны следующие рекомендации:

Пример №1. Оптовая база снабжает товаром n магазинов. Вероятность того, что в течение дня поступит заявка на товар, равна p для каждого магазина. Найти вероятность того, что в течение дня: а) поступит k заявок; б) не менее k1 и не более k2 заявок; в) поступит хотя бы одна заявка. Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?

p n k k1 k2
0,8 18 6 5 13

Решение:
а) поступит k заявок;

Второй вариант решения.
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа.

где

Найдем значение x:

Функция четная, поэтому φ(-4,95) = φ(4,95) = 0,0000047851173921290
Искомая вероятность:

б) не менее k1 и не более k2 заявок;
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа.
Pn(k1,k2) = Ф(x’’) – Ф(x’)
где Ф(x) – функция Лапласа.


Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-x) = -Ф(x), получим:
P18(5,13) = Ф(-0,825) – Ф(-5,54) = -Ф(0,825) + Ф(5,54) = -0,2939 + 0,5 = 0,2061

в) поступит хотя бы одна заявка.
Найдем вероятность того, что не поступит ни одной заявки.
P18(6) = (1-p)18 = (1-0.8)18 = 0.218
Тогда вероятность того, что поступит хотя бы одна заявка равна:
q = 1–P = 1-0,218
Второй вариант решения. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа.
Найдем значение x:

Функция четная, поэтому φ(-8,49) = φ(8,49) = 2,28*10-16
Искомая вероятность:

Следовательно, q = 1 – P = 1 - 8,89*10-17

Каково наивероятнейшее число поступающих в течение дня заявок и чему равна соответствующая ему вероятность?
По условию, n = 18, p = 0,8, q = 0,2.
Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства:
18*0,8 – 0,2 ≤ k0 ≤18*0,8+ 0,8
или
14,2≤ k0 ≤15,2
Поскольку np –q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0 = 15.

Пример №3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что в серии из 4 выстрелов будет: а) хотя бы одно попадание; б) не менее трех попаданий; в) не более одного попадания.
Решение. Здесь n = 4, p = 0,8, q = 0, 2.
а) Найдем вероятность противоположного события — в серии из четырех выстрелов нет ни одного попадания в цель:
P4(0) = C40·p0·q4 = 0.24 = 0.0016
Отсюда находим вероятность хотя бы одного попадания в цель:
P4(k≥1) = 1-0.0016 = 0.9984

б) Событие B, заключающееся в том, что в серии из четырех выстрелов произошло не менее трех попаданий в цель, означает, что было либо три попадания (событие C), либо четыре (событие D), то есть B=C+D. Отсюда, P(B) = P(C) + P(D); следовательно,
P4(k≥3) = P4(3) + P4(4) = C43·p3·q1 + C44·p4·q0 = 4·0.83·0.2+0.84 = 0.8192
в) Аналогично вычисляется вероятность попадания в цель не более одного раза:
P4(k≤1) = P4(0) + P4(1) = 0.0016 + C41·p1·q3 = 0.0016+4·0.8·0.23 = 0.2576

Пример №4. В данной местности в среднем за год 75 солнечных дней. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет меньше, чем 200 солнечных дней.
Решение. Здесь n = 365, p=75/365 = 0.205