Определитель матрицы ▦ Производная функции dydx График 3D Упростить выражение Графический метод решения задач нелинейного программирования ⇲ …
Примеры решений СМО с очередью Симплекс-метод Теория игр ▩ Одноканальные СМО Многоканальные СМО СМО с отказами Интенсивность нагрузки Уравнения Колмогорова △ Марковские процессы

Теория массового обслуживания (СМО)

Теория массового обслуживания исследует на основе теорий вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений.

Сервис представлен онлайн-калькуляторами:

  1. Одноканальные СМО.
  2. Многоканальные СМО.
  3. Замкнутые системы массового обслуживания СМО.
  4. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний.
Либо можно ввести свое задание в свободной форме.

Для решения задач на тему Теория массового обслуживания необходимо определиться с типом модели СМО: одноканальные (см. примеры задач для одноканальных СМО) или многоканальные (см. примеры задач для многоканальных СМО). В многоканальных СМО количество устройств обслуживания n (количество рабочих, кассиров, бригад, моек и т.п.) больше одного. Обычно интенсивность потока заявок λ задана явно. Интенсивность потока обслуживания μ может задаваться в виде времени обслуживания tобс. В сервисе необходимо ввести либо параметр μ, либо tобс (только одно из двух).

Выбор СМО зависит как от числа каналов n, так и от допустимой длины очереди m. По указанным признакам различается ряд типов СО, перечисленных в таблице.

№ п/п Параметры СО Тип СО
n m
1 1 0 Одноканальная, без очереди
2 n > 1 0 Многоканальная, без очереди
3 1 1 < m <∞ Одноканальная, с ограниченной очередью
4 n > 1 1 < m<∞ Многоканальная, с ограниченной очередью
5 1 m = ∞ Одноканальная, с неограниченной очередью
6 n > 1 m = ∞ Многоканальная, с неограниченной очередью
По числу обслуживающих каналов различают одноканальные и многоканальные СО.
В зависимости от целочисленного значения m используются следующие названия в классификации типов СО:
  1. m = 0 – без очереди;
  2. m > 0 – с очередью.
Если число мест в очереди m является конечным, то в СО могут происходить отказы в предоставлении обслуживания некоторым заявкам. В связи с этим СО указанного типа называются системами с отказами. Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми, или, если m =0, все каналы оказались занятыми. Считается, что заявка, получившая отказ в обслуживании, навсегда теряется для СО. Таким образом, пропускная способность СО этого типа всегда меньше 100%.
Если m не ограничено, что иногда условно записывают как m = ∞ , то соответствующая СО называется системой с ожиданием. В СО данного типа пришедшая заявка при  отсутствии возможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания, какой бы длинной ни были очередь и продолжительность времени ожидания.

Все СМО делятся на СМО с отказами (параметр m не используется), СМО с ограниченной длиной очереди и СМО с неограниченной очередью. Параметр m (длина очереди) используется для последних двух СМО. При этом в СМО с неограниченной очередью можно указывать любое значение m. Например, m = 3. Тогда будут рассчитаны вероятности нахождения в очереди 1,2,3 заявки.

Временные параметры рассчитываются в часах или в минутах, в зависимости от заданного параметра λ.

Полученное решение сохраняется в файле Word. Для редактирования формул можно использовать редактор формул Microsoft Equation.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 заказов в час. Если свободных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие.

Формулы для расчета параметров простейших СМО

, , , a = , b = , γ =
Показатели эффективности системы Чистая СМО с отказами (n, a) СМО с ограничением на время пребывания в очереди (n, a,b) СМО с ограничением на длину очереди (n, a,m) Чистая СМО с ожиданием (n, a), γ < 1
1 2 3 4 5
Вероятность того, что все каналы свободны р0 = р0= p0= р0 =
Вероятность того, что занято k каналов 0 ≤ k≤ n Рk = р0 Рk= р0 рk= р0 Рk = р0
Вероятность того, что заняты все n каналов, s заявок в очереди - рn+s = рn, рn+s= γs× рn; 1 ≤ s ≤ m. рn+s=γs× рn
Вероятность отказаротк = рn ротк = ротк = рn+m ротк = 0
Вероятность полной загрузки системы рn.з = рn рn.з = рn.з = рn рn.з =
Вероятность обслуживания, относительная пропускная способность системы робс = = 1- рn = робс = = 1 - ротк = робс = = = 1 - рn+m = робс = = 1
Абсолютная пропускная способность системы lb = l·робс lb = l·робс = l - n·r lb = lробс = m × n3 lb = l
Вероятность занятости канала рзк = kз = рзк = kз = рзк = kз = рзк = kз =
Среднее число свободных каналов n0 = n0 = n0 = n0 =
Вероятность простоя канала pп.к, коэффициент простоя оборудования кn рn.к = kn = рn.к = kn = рn.к = kn = рn.к = kn =
1 2 3 4 5
Среднее число заявок в очереди - r = r = r = рn
Вероятность наличия очереди - рн.о = рн.о = рn рн.о =pn
Среднее время наличия очереди - - = =
Среднее время пребывания заявки в очереди - = = =
Среднее время пребывания заявки в системе = = , l = n3 + r = , l = n3 + r = , l = n3 + r
Среднее время занятости канала (любого) = = + =
Среднее время простоя канала
Среднее время полной загрузки системы -
Среднее время неполной загрузки системы –

Параметры СМО

Проанализировать приводящуюся ниже ситуацию с использованием теории СМО. Ответить на соответствующие вопросы и рассчитать параметры СМО.

На торговой точке предполагается одновременно использование только одного продавца. Известно, что в дневное время интенсивность прихода покупателей составляет 4 + 0,2N1-0,1N2 человек в час. Продавец может обслуживать в час в среднем 5-0,5N1+0,2N2 покупателей.
Используя Марковскую модель данной СМО ответить на вопросы:

  1. какова вероятность, что через 20-N1-N2 минут после открытия точки в очереди будет 2 покупателя?
  2. каковая вероятность, что пришедший через 2 часа покупатель не сделает покупок (т.е. решит не становиться в очередь)?
При этом считать, что следующий покупатель не становится в очередь, если в ней уже имеется 3 человека и что, перед открытием точки в очереди был один покупатель с вероятностью 1/(2+N1+N2). используя модель М/М/1 рассчитать среднее число покупателей в очереди, среднее время ожидания им обслуживания, среднее время, проведенной покупателем в магазине, долю времени простоя продавца без работы.
Сделать это двумя способами соответствующими следующим предположениям:
  1. в очереди не может быть более 3+N2 покупателей;
  2. на длину очереди ограничений нет.

Решение:
По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают системы марковские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволяют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае немарковских процессов задачи исследования систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, численных методов с использованием ЭВМ.
где λ 4 + 0,2N1-0,1N2 ед в час., t = 5-0,5N1+0,2N2 час.

Далее решение находим через калькулятор.

Доля времени простоя каналов

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО через сервис СМО:
1. Интенсивность нагрузки показывает, насколько «плотно» поступают заявки относительно скорости их обработки:
Для наших данных интенсивность нагрузки ρ=2.
Для одноканальной СМО ρ численно равна вероятности того, что канал занят. Например, если ρ=0.7, значит, прибор занят 70% времени. Для многоканальной СМО, чтобы система была стабильной, нагрузка на каждый канал (ρ/n, где n — число каналов) должна быть меньше единицы.
Для наших данных: ρ/n=2/3 = 0.67.
2. Время обслуживания.
мин.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
доля времени простоя каналов: формула
Следовательно, 12% в течении часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 6.9 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 21/1! • 0.12 = 0.23
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 22/2! • 0.12 = 0.23
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 23/3! • 0.12 = 0.15
4. Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 0% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0 = 1
Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием.
nз = ρ • pобс = 2 • 1 = 2 каналов
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 3 - 2 = 1 каналов
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность.
A = pобс • λ = 1 • 6 = 6 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк ∙ tобс = 0 ∙ 0.33 = 0 мин.
9. Среднее число заявок, находящихся в очереди.


10. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
мин.
11. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 2 • 1 = 2 ед.
12. Среднее число заявок в системе.
LCMO = Lоч + Lобс = 1.54 + 2 = 3.54 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО.
мин.
Число заявок, получивших отказ в течении часа: λ • p1 = 0 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 1 / 0.33 = 3 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 6 / 3 = 200% от номинальной производительности.

Вероятность обслуживания поступающих заявок

Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 120 • 1/60 = 2
Интенсивность нагрузки ρ=2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Следовательно, 11% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 6.7 мин.
4. Доля заявок, получивших отказ.
Поскольку отказ в обслуживании в таких системах не может быть, то pотк = 0
Значит, 0% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок - показатель, который определяет, какая доля заявок из общего потока в итоге будет выполнена системой.
Если pобс=0.95, это значит, что 95% клиентов получили услугу, а 5% ушли ни с чем (получили отказ).
Для наших данных: pобс = Q = 1
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием.
nз = ρ • pобс = 2 • 1 = 2 каналов
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 3 - 2 = 1 каналов
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность.
A = pобс • λ = 1 • 120 = 120 заявок/час.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк ∙ tобс = 0 ∙ 0.0166 = 0 час.
11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lоб = ρ = 2
13. Среднее число заявок в системе.
LCMO = Lоч + Lобс = 0.89 + 2 = 2.89 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО.
час
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p1 = 0 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.0166 = 181 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 120 / 181 = 66% от номинальной производительности.