Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений СМО с очередью Симплекс-метод Теория игр
Одноканальные СМО Многоканальные СМО СМО с отказами
Интенсивность нагрузки Уравнения Колмогорова Марковские процессы

Теория массового обслуживания (СМО)

Теория массового обслуживания исследует на основе теорий вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений.

Сервис представлен тремя онлайн-калькуляторами:

  1. Одноканальные СМО.
  2. Многоканальные СМО.
  3. Замкнутые системы массового обслуживания СМО.

Для решения задач на тему Теория массового обслуживания необходимо определиться с типом модели СМО: одноканальные (см. примеры задач для одноканальных СМО) или многоканальные (см. примеры задач для многоканальных СМО). В многоканальных СМО количество устройств обслуживания n (количество рабочих, кассиров, бригад, моек и т.п.) больше одного. Обычно интенсивность потока заявок λ задана явно. Интенсивность потока обслуживания μ может задаваться в виде времени обслуживания tобс. В сервисе необходимо ввести либо параметр μ, либо tобс (только одно из двух).

Выбор СМО зависит как от числа каналов n, так и от допустимой длины очереди m. По указанным признакам различается ряд типов СО, перечисленных в таблице.

№ п/п Параметры СО Тип СО
n m
1 1 0 Одноканальная, без очереди
2 n > 1 0 Многоканальная, без очереди
3 1 1 < m <∞ Одноканальная, с ограниченной очередью
4 n > 1 1 < m<∞ Многоканальная, с ограниченной очередью
5 1 m = ∞ Одноканальная, с неограниченной очередью
6 n > 1 m = ∞ Многоканальная, с неограниченной очередью
По числу обслуживающих каналов различают одноканальные и многоканальные СО.
В зависимости от целочисленного значения m используются следующие названия в классификации типов СО:
  1. m = 0 – без очереди;
  2. m > 0 – с очередью.
Если число мест в очереди m является конечным, то в СО могут происходить отказы в предоставлении обслуживания некоторым заявкам. В связи с этим СО указанного типа называются системами с отказами. Отклоняются от обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очереди случайно оказались занятыми, или, если m =0, все каналы оказались занятыми. Считается, что заявка, получившая отказ в обслуживании, навсегда теряется для СО. Таким образом, пропускная способность СО этого типа всегда меньше 100%.
Если m не ограничено, что иногда условно записывают как m = ∞ , то соответствующая СО называется системой с ожиданием. В СО данного типа пришедшая заявка при  отсутствии возможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания, какой бы длинной ни были очередь и продолжительность времени ожидания.

Все СМО делятся на СМО с отказами (параметр m не используется), СМО с ограниченной длиной очереди и СМО с неограниченной очередью. Параметр m (длина очереди) используется для последних двух СМО. При этом в СМО с неограниченной очередью можно указывать любое значение m. Например, m = 3. Тогда будут рассчитаны вероятности нахождения в очереди 1,2,3 заявки.

Временные параметры рассчитываются в часах или в минутах, в зависимости от заданного параметра λ.

Полученное решение сохраняется в файле Word. Для редактирования формул можно использовать редактор формул Microsoft Equation.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 заказов в час. Если свободных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие.

Формулы для расчета параметров простейших СМО

, , , a = , b = , γ =
Показатели эффективности системы Чистая СМО с отказами (n, a) СМО с ограничением на время пребывания в очереди (n, a,b) СМО с ограничением на длину очереди (n, a,m) Чистая СМО с ожиданием (n, a), γ < 1
1 2 3 4 5
Вероятность того, что все каналы свободны р0 = р0= p0= р0 =
Вероятность того, что занято k каналов 0 ≤ kn Рk = р0 Рk= р0 рk= р0 Рk = р0
Вероятность того, что заняты все n каналов, s заявок в очереди - рn+s = рn, рn+s= γs× рn; 1 ≤ s ≤ m. рn+ss× рn
Вероятность отказаротк = рn ротк = ротк = рn+m ротк = 0
Вероятность полной загрузки системы рn.з = рn рn.з = рn.з = рn рn =
Вероятность обслуживания, относительная пропускная способность системы робс = = 1- рn = робс = = 1 - ротк = робс = = = 1 - рn+m = робс = = 1
Абсолютная пропускная способность системы lb = l·робс lb = l·робс = l - n·r lb = lробс = m × n3 lb = l
Вероятность занятости канала рзк = kз = рзк = kз = рзк = kз = рзк = kз =
Среднее число свободных каналов n0 = n0 = n0 = n0 =
Вероятность простоя канала pп.к, коэффициент простоя оборудования кn рn.к = kn = рn.к = kn = рn.к = kn = рn.к = kn =
1 2 3 4 5
Среднее число заявок в очереди - r = r = r = рn
Вероятность наличия очереди - рн.о = рн.о = рn рн =pn
Среднее время наличия очереди - - = =
Среднее время пребывания заявки в очереди - = = =
Среднее время пребывания заявки в системе = = , l = n3 + r = , l = n3 + r = , l = n3 + r
Среднее время занятости канала (любого) = = + =
Среднее время простоя канала
Среднее время полной загрузки системы -
Среднее время неполной загрузки системы