Примеры задач для многоканальных СМО
Перейти к онлайн решению своей задачиМногоканальная СМО с отказами в обслуживании
Пример. АТС имеет k линий связи. Поток вызовов - простейший с интенсивностью λ в минуту. Среднее время переговоров составляет t минут. Время переговоров имеет показательное распределение. Найти: а) вероятность того, что все линии связи заняты; б) относительную и абсолютную пропускные способности АТС; в) среднее число занятых линий связи. Определить оптимальное число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала α.k = 5; λ = 0.6; t = 3.5, α = 0.04.
Решение. Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 1/3.5 = 0.29
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 0.6 • 3.5 = 2.1
Интенсивность нагрузки ρ=2.1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 2.11/1! • 0.13 = 0.26
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 2.12/2! • 0.13 = 0.28
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 2.13/3! • 0.13 = 0.19
заняты 4 канала:
p4 = ρ4/4! p0 = 2.14/4! • 0.13 = 0.1
заняты 5 канала:
p5 = ρ5/5! p0 = 2.15/5! • 0.13 = 0.0425 (вероятность того, что все линии связи заняты)
4. Доля заявок, получивших отказ.
Значит, 4% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
pотк + pобс = 1
Относительная пропускная способность: Q = pобс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.0425 = 0.96
Следовательно, 96% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число занятых линий связи
nз = ρ • pобс = 2.1 • 0.96 = 2.01 линии.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 5 - 2.01 = 3 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
K3 = n3/n = 2.01/5 = 0.4
Следовательно, система на 40% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность.
A = pобс • λ = 0.96 • 0.6 = 0.57 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.0425 • 3.5 = 0.15 мин.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 2.1 • 0.96 = 2.01 ед.
Для определения оптимального число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала 0.04, воспользуемся формулой:
Для наших данных:
где 
Подбирая количество линий связей, находим, что при k=6, pотк = 0.0147 < 0.04, p0 = 0.12
Скачать решение
1. Коммерческая фирма занимается посреднической деятельностью по продаже автомобилей и осуществляет часть переговоров по 3 телефонным линиям. В среднем поступает 75 звонков в час. Среднее время предварительных переговоров справочного характера составляет 2 мин.
Рекомендации к решению задачи: здесь n = 3; λ = 75 ед. в час.; t = 2 мин. или μ = 30 ед. в час.
2. Пункт по ремонту квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность потока заявок λ, производительность пункта μ. Определить вероятность того, что оба каналы свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускные способности, средне число занятых бригад.
Рекомендации к решению задачи: здесь n = 2; λ = 1.5 ед. в час.; μ = 1.8 ед. в час.
3. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Рекомендации к решению задачи: здесь n = 3; λ = 0.25 ед. в час.; tобс = 3 час.
Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди
1. Построить две модели многоканальной системы массового обслуживания – с бесконечной и ограниченной очередью. Вычислить Р0 – вероятность простаивания всех каналов обслуживания, nw – среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, tw – среднее время ожидания обслуживания, W – вероятность обязательного пребывания в очереди.
2. В мини-маркет поступает поток покупателей с интенсивностью 6 покупателей в 1 мин., которых обслуживают три контролера-кассира с интенсивностью 2 покупателя в 1 мин. длина очереди ограничена 5 покупателями.
Рекомендации к решению задачи: здесь n = 3; m = 5; λ = 6 ед. в мин.; μ = 2 ед. в мин.
3. На плодоовощную базу в среднем через 30 мин. прибывают автомашины с плодоовощной продукцией. Среднее время разгрузки одной машины составляют 1.5 ч. Разгрузку производят две бригады. На территории базы у дебаркадера могут находиться в очереди в ожидании разгрузки не более 4 автомашин.
Рекомендации к решению задачи: здесь n = 2; m = 4; λ = 2 ед. в час.; μ = 2/3 = 0.67 ед. в час.
4. На автомойку в среднем за час приезжают 9 автомобилей, но если в очереди уже находятся 4 автомобиля, вновь подъезжающие клиенты, как правило, не встают в очередь, а проезжают мимо. Среднее время мойки автомобиля составляет 20 мин., а мест для мойки всего два. Средняя стоимость мойки автомобиля составляет 70 руб. Определите среднюю величину потери выручки автомойки в течение дня.
Рекомендации к решению задачи: здесь n = 2; m = 4; λ = 9 ед. в час.; tобс = 20 мин.
Величина потери выручки: S = t время работы мойки за день λ•pотк•70 руб. (ответ 5443.2 руб.)
5. Магазин получает овощи из теплиц. Автомобили с грузом прибывают с интенсивностью λ машин в день. Подсобные помещения позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный m автомобилями. В магазине работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течении tобсл. часов. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 часов. Определить емкость подсобных помещений при заданной вероятности Р* обсл. полной обработки товаров.
6. Имеется автозаправочная станция с 2-мя колонками. В очереди не может быть больше 3-х машин. Интенсивность и среднее время заправки равны 2.1 и 0.55. Найти вероятность простоя системы.
Решение:
Интенсивность потока обслуживания равна μ = 1/0.55 = 1.82. Отсюда, интенсивность нагрузки составит ρ = λ • tобс = 2.1 • 0.55 = 1.16. Заметим, что интенсивность нагрузки ρ=1.16 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Поскольку 1.16<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
Вероятность простоя системы выражается следующей формулой:
Многоканальная СМО с неограниченной очередью
1. Построить две модели многоканальной системы массового обслуживания – с бесконечной и ограниченной очередью. Вычислить Р0 – вероятность простаивания всех каналов обслуживания, nw – среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, tw – среднее время ожидания обслуживания, W – вероятность обязательного пребывания в очереди.2. В расчетном узле магазина самообслуживания работают 3 кассы. интенсивность входного потока составляет 5 покупателей в минуту. интенсивность обслуживания каждого контролера-кассира составляет 2 покупателя минуту.
Рекомендации к решению задачи: здесь n = 3; λ = 5 ед. в мин.; μ = 2 ед. в мин.
В качестве количества заявок в очереди можно указать, например, m = 4. тогда будут рассчитаны соответствующие вероятность появления данных заявок.
3. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью λ = 1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает пятью независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (обслуживание заявок). Очередь заявок не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Определите вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.
Рекомендации к решению задачи: здесь n = 5; λ = 1.5 ед. в час.; tобс = 3 ед. в час.
После решения необходимо заменить единицы измерения "час" на "дни".
4. В мастерской по ремонту холодильников работает n мастеров. В среднем в течение дня поступает в ремонт λ холодильников. Поток заявок пуассоновский. Время ремонта подчиняется экспоненциальному закону распределения вероятностей, в среднем в течение дня при семичасовом рабочем дне каждый из мастеров ремонтирует μ холодильников.
Требуется определить: 1) вероятность того, что все мастера свободны от ремонта холодильников, 2) вероятность того, что все мастера заняты ремонтом, 3) среднее время ремонта одного холодильника, 4) в среднем время ожидания начала ремонта для каждого холодильника, 5) среднюю длину очереди, которая определяет необходимое место для хранения холодильника, требующего ремонта, 6) среднее число мастеров, свободных от работы.