Определитель матрицы ▦ Производная функции dydx График 3D Упростить выражение Графический метод решения задач нелинейного программирования ⇲ …
Примеры решений СМО с очередью Симплекс-метод Теория игр ▩ Одноканальные СМО Многоканальные СМО СМО с отказами Интенсивность нагрузки Уравнения Колмогорова △ Марковские процессы

Примеры решения по теории массового обслуживания

  1. СМО с ожиданием (очередью)
  2. СМО с отказами
  3. Параметры СМО. На торговой точке предполагается одновременно использование только одного продавца. Известно, что в дневное время интенсивность прихода покупателей составляет 4 + 0,2N1-0,1N2 человек в час. Продавец может обслуживать в час в среднем 5-0,5N1+0,2N2 покупателей.

Примеры задач

Задача №2.
Рассматривается работа автозаправочной станции (АЗС), на которой имеется 2 заправочные колонки. Предположим, что она описывается процессом размножения и гибели в стационарном режиме. Заправка каждой машины длится в среднем 3 минуты. В среднем на АЗС каждые две минуты прибывает машина, нуждающаяся в заправке. Число мест в очереди неограниченно. Все машины, вставшие на заправку, терпеливо дожидаются своей очереди.
Определить:
1. Вероятность того, что на заправке находится 5 машин.
2. Вероятность того, что вновь прибывшей машине придется ждать обслуживания.
Скачать решение

Задача №3.
На входе СМО с одним обслуживающим прибором простейший поток требований с параметром λ=1.2. Время обслуживания распределено равномерно на интервале (0, 1). Определить среднюю длину очереди, среднее время ожидания, среднее время обслуживания, среднее время пребывания требования в системе и среднее число требований в системе.

Задача №4.
Построить две модели многоканальной системы массового обслуживания – с бесконечной и ограниченной очередью. Вычислить Р0– вероятность простаивания всех каналов обслуживания, nw– среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, tw– среднее время ожидания обслуживания, W – вероятность обязательного пребывания в очереди.

l m s k
8 10 2 4
Используем сервис многоканальная СМО. Выбираем количество каналов равным 4, количество заявок в очереди равным 2.
Модель многоканальной системы массового обслуживания с бесконечной очередью: Скачать решение
Модель многоканальной системы массового обслуживания с ограниченной очередью: Скачать решение

Задача №1.
В учениях участвуют два корабля A и B, которые одновременно производят выстрелы друг в друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль A поражает корабль B с вероятностью 0.6, а корабль B поражает корабль A с вероятностью 0.75. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Определить матрицу вероятностей переходов, если состояниями цепи Маркова являются комбинации: Е1 – оба корабля в строю, Е2 – в строю только корабль A, Е3 – в строю только корабль B, Е4 – оба корабля поражены. Найти стационарное распределение вероятностей состояний.

Лекции по теории массового обслуживания

Классификация систем массового обслуживания

СМО могут быть двух видов: Обслуживание в системах с очередью может иметь различный характер:
  1. обслуживание может быть упорядоченным;
  2. обслуживание в случайном порядке;
  3. обслуживание с приоритетом, при этом приоритет может быть с прерыванием и без прерывания.
Системы с очередью делятся на: Для СМО с отказами используются следующие показатели эффективности:
Для СМО с ожиданием абсолютная пропускная способность А и относительная пропускная способность Q теряют смысл, но важными становятся другие характеристики: Для СМО с ограниченной очередью интересны обе группы характеристик.

Имитационное моделирование систем массового обслуживания

Модель - это любой образ, аналог, мысленный или установленный, изображение, описание, схема, чертеж, и т. п. какого либо объекта, процесса или явления, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные свойства.
Моделирование - это исследование какого-либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. А также - это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.
Модель является средством для изучения сложных систем.
В общем случае сложная система представляется как многоуровневая конструкция из взаимодействующих элементов, объединяемых в подсистемы различных уровней. К сложным системам, в т.ч., относятся информационные системы. Проектирование таких сложных систем осуществляется в два этапа.

1 Внешнее проектирование

На этом этапе проводят выбор структуры системы, основных ее эле ментов, организация взаимодействия между элементами, учет воздействия внешней среды, оценка показателей эффективности системы.

2 Внутреннее проектирование - проектирование отдельных элементов
системы

Типичным методом исследования сложных систем на первом этапе является моделирование их на ЭВМ.
В результате моделирования получаются зависимости, характеризующие влияние структуры и параметров системы на ее эффективность, надежность и другие свойства. Эти зависимости используются для получения оптимальной структуры и параметров системы.
Модель, сформулированная на языке математики с использованием математических методов называется математической моделью.
Для имитационного моделирования характерно воспроизведение явлений, описываемых математической моделью, с сохранением их логической структуры, последовательности чередования во времени. Для оценки искомых величин может быть использована любая подходящая информация, циркулирующая в модели, если только она доступна регистрации и последующей обработке.
Искомые величины при исследовании процессов методом имитационного моделирования обычно определяют как средние значения по данным большого числа реализаций процесса. Если число реализаций N, используемых для оценки искомых величин, достаточно велико, то в силу закона больших чисел получаемые оценки приобретают статистическую устойчивость и с достаточной для практики точностью могут быть приняты в качестве приближенных значений искомых величин.
Сущность метода имитационного моделирования применительно к задачам массового обслуживания состоит в следующем. Строятся алгоритмы,
при помощи которых можно вырабатывать случайные реализации заданных потоков однородных событий, а также моделировать процессы функционирования обслуживающих систем. Эти алгоритмы используются для много кратного воспроизведения реализации случайного процесса обслуживания при фиксированных условиях задачи. Получаемая при этом информация о состоянии процесса подвергается статистической обработке для оценки величин, являющихся показателями качества обслуживания

3 Формирование реализаций случайного потока заявок

При исследовании сложных систем методом имитационного моделирования существенное внимание уделяется учету случайных факторов.
В качестве математических схем, используемых для формализации действия этих факторов, используются случайные события, случайные величины и случайные процессы (функции). Формирование на ЭВМ реализаций случайных объектов любой природы сводится к выработке и преобразованию случайных чисел. Рассмотрим способ получения возможных значений случайных величин с заданным законом распределения. Для формирования возможных значений случайных величин с заданным законом распределения исходным материалом служат случайные величины, имеющие равномерное распределение в интервале (0, 1). Другими словами, возможные значения xi случайной величины £, имеющей равномерное распределение в интервале (0, 1), могут быть преобразованы в возможные значения yi случайной величины г), закон распределения которой задан. Способ преобразования состоит в том, что из равномерно распределенной совокупности отбираются случайные числа, удовлетворяющие некоторому условию таким образом, чтобы отобранные числа подчинялись заданному закону распределения.

4 Обработка результатов моделирования


При реализации моделирующих алгоритмов на ЭВМ вырабатывается информация о состояниях исследуемой системы. Эта информация является исходным материалом для определения приближенных значений искомых величин, или, как принято говорить, оценок для искомых величин.

Примерные темы расчетно-графических работ

1 На травмопункте работает один врач. Длительность лечения больного и промежутки времени между поступлениями больных - случайные величины, распределенные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три категории, поступление больного любой категории - случай ное событие с равновероятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяжелыми травмами (в порядке их поступления), затем, если таковых нет, больными средней тяжести, и лишь затем - больны ми с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий.
2 В городском автохозяйстве две ремонтные зоны. Первая обслуживает ремонты краткой и средней продолжительности, вторая - средней и долгой. По мере поломок в автохозяйство доставляют транспорт; промежуток време ни между доставками - случайная пуассоновская величина. Продолжительности ремонта - случайная величина с нормальным законом распределения. Смоделировать описанную систему. Оценить средние времена ожидания в очереди транспорта, требующие соответственно краткосрочного, среднесрочного и длительного ремонта.
3 Мини-маркет с одним контролером - кассиром обслуживает покупа телей, входящий поток которых подчиняется закону Пуассона с параметром 20 покупателей/час. Провести моделирование описанного процесса и определить вероятность простоя контролера - кассира среднюю длину очереди, среднее число покупателей в мини-маркете, среднее время ожидания обслуживания, среднее время пребывания покупателей в мини-маркете и дайте оценку его работы.
4 На АТС поступают заявки на междугородние переговоры. Поток зая вок является пуассоновским. В среднем за 1 час поступает 13 заявок. Найдите среднее число заявок, поступающих за сутки, среднее время между появлением заявок. На телефонной станции появляются сбои в работе, если за полчаса на нее поступит более 50 заявок. Найдите вероятность сбоя станции.
5 На станцию технического обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1 автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более 3 машин. Среднее время ремонта - 2 часа. Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.
6 Одна ткачиха обслуживает группу станков, осуществляя по мере необходимости краткосрочное вмешательство, длительность которого - случайная величина. Смоделировать описанную ситуацию. Какова вероятность простоя сразу двух станков. Как велико среднее время простоя одного станка.
7 На междугородней телефонной станции две телефонистки обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Если обе в момент поступления заказа заняты, звонок аннулируется. Смоделировать процесс, считая входные потоки пуассоновскими.
8 На травмопункте работают два врача. Длительность лечения больного и промежутки времени между поступлениями больных - случайные величины, распределенные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три категории, поступление больного любой категории - случайное событие с равновероятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяжелыми травмами (в порядке их поступления), затем, если таковых нет, больными средней тяжести, и лишь затем - больными с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий.
9 На междугородней телефонной станции две телефонистки обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Если обе в момент поступления заказа заняты, то формируется очередь. Смоделировать процесс, считая входные потоки пуассоновскими.
10 В системе передачи данных осуществляется обмен пакетами данных между узлами A и B по дуплексному каналу связи. Пакеты поступают в пункты системы от абонентов с интервалами времени между ними 10 ± 3 мс. Передача пакета занимает 10 мс. В пунктах имеются буферные регистры, которые могут хранить два пакета, включая передаваемый. В случае прихода пакета в момент занятости регистров пунктам системы предоставляется выход на спутниковую полудуплексную линию связи, которая осуществляет передачу пакетов данных за 10 ± 5 мс. При занятости спутниковой линии пакет получает отказ. Смоделировать обмен информацией в системе передачи данных в течение 1 мин. Определить частоту вызовов спутниковой линии и ее загрузку. В случае возможности отказов определить необходимый для безотказной работы системы объем буферных регистров.
11 Пусть на телефонной станции с одним входом используется обычная система: если абонент занят, то очередь не формируется и надо звонить снова. Смоделировать ситуацию: три абонента пытаются дозвониться до одного и того же владельца номера и в случае успеха разговаривают с ним некоторое (случайное по длительности) время. Какова вероятность того, что некто, пытающийся дозвониться, не сможет это сделать за определенное время Т.
12 Торговая фирма планирует выполнять заказы на приобретение товаров по телефону, для чего необходимо установить соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Если заказ поступает, когда все линии заняты, то клиент получает отказ. Если в момент поступления за явки хотя бы одна линия свободна, то производится переключение на эту линию и оформляется заказ. Интенсивность входящего потока заявок составляет 30 заказов в час. Длительность оформления заявки в среднем равна 5 мин. Определите оптимальное число каналов обслуживания, чтобы обеспечить условие стационарной работы СМО.
13 В магазине самообслуживание 6 контролеров - кассиров. Входящий поток покупателей подчиняется закону Пуассона с интенсивностью 120 чел/час. Один кассир может обслужить 40 человек в час. Определите вероятность простоя кассира, среднее число покупателей в очереди, среднее время ожидания, среднее число занятых кассиров. Дайте оценку работы СМО.
14. В магазин самообслуживания поступает пуассоновский поток с интенсивностью 200 покупателей в час. В течение дня их обслуживают 3 контролера-кассира с интенсивностью 90 покупателей в час. Интенсивность входного потока покупателей в часы пик возрастает до величины 400 покупателей в час, а в часы спада достигает величины 100 покупателей в час. Определите вероятность образования очереди в магазине и среднюю длину очереди в течение дня, а также необходимое число контролеров-кассиров в часы пик и часы спада, обеспечивающие такую же длину очереди и вероятность ее образования, как и в номинальном режиме.
15. Среднее число покупателей, поступающих на узел расчета в магазин самообслуживания 100 чел/час. Кассир может обслужить 60 человек в час. Смоделируйте процесс и определите, какое число кассиров необходимо для того, чтобы вероятность появления очереди не превысила 0.6.
16. Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при равновероятных законах распределения случайных величин: прихода по купателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном на боре параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей. Оценить их достоверность.
17. Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при пуассоновских законах распределения случайных величин: прихода по купателей и длительности обслуживания (при некотором фиксированном на боре параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей. Оценить их достоверность.
18. Создайте модель бензоколонки. Найдите показатели качества обслуживания заявок. Определите количество стоек с тем, чтобы очередь не увеличивалась.
19. Среднее число покупателей, поступающих на узел расчета в магазин самообслуживания, 60 человек в час. Кассир может обслужить 35 человек в час. Смоделируйте процесс и определите, какое число кассиров необходимо для того, чтобы вероятность появления очереди не превысила 0.6.
20. Разработайте модель автобусного маршрута с n остановками. Определите показатели эффективности использования СМО.

Примеры решений

Задача №1. Дежурный по администрации города имеет один телефон. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин. Определить показатели СМО дежурного администратора.

Примечание: выбираем λ = 90 в час.; t=2 мин.

Решение:
Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 60/2 = 30

1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 90 • 2/60 = 3
Интенсивность нагрузки ρ=3 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).
p0 = μ/(λ + μ)
p0 = 30(90 + 30) = 0.25
Следовательно, 25% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 15 мин.

4. Доля заявок, получивших отказ.
p1 = 1 - p0 = 1 - 0.25 = 0.75
Значит, 75% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

5. Относительная пропускная способность.
Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:
Q = p0 = 0.25

6. Абсолютная пропускная способность.
A = Q • λ = 0.25 • 90 = 22.5 заявок/час.

7. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.75 • 0.0333 = 0.02 час.

10. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 3 • 0.25 = 0.75 ед.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ • p1 = 68 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 1 / 0.0333 = 30 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 22.5 / 30 = 75% от номинальной производительности.

Пример №2. СМО представляет собой АЗС с n=5 колонками. Площадка возле АЗС позволяет ожидание в очереди не более m=2 машин. Поток автомашин на заправку простейший с интенсивностью λ = 35 машин в час. Среднее время заправки составляет 3 мин.

Решение:
Скачать решение

В магазине самообслуживания установлено, что поток покупателей является простейшим с интенсивностью λ = 1.95 покупателя в минуту. μ = 3 (t=0). Скачать решение

Пример №3. В отделении банка на обслуживании клиентов работают а1 операторов. Среднее время обслуживания одного клиента оператором а2 минуты банка. Определить характеристики работы банка и вероятность того, что не менее двух каналов простаивают. Как изменятся основные характеристики работы банка, если квалификация операторов такова, что позволяет каждому из них тратить на обслуживание одного клиента в среднем а4 минут?

Пример №4. В магазине самообслуживания установлено, что поток покупателей является простейшим с интенсивностью λ = 0.3 покупателя в минуту. μ = 2 (t=0).

В расчетном узле магазина самообслуживания работают 8 кассы. интенсивность входного потока составляет 0.0625 покупателей в минуту. интенсивность обслуживания каждого контролера-кассира составляет 0(t=72) покупателя минуту. Определить Вероятность отказа канала

Пример №5. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с тремя каналами. На осмотр и выявления дефектов каждой машины затрачивается в середине 40 мин. На осмотр поступает в среднем 52 машины в сутки. Потоки заявок и обслуживаний простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она уезжает. Найдите финальные вероятности, а также показатели эффективности рассматриваемой СМО.
Решите предыдущую задачу при условии неорганичной очереди и при условии двух заявок в очереди.
Решите предыдущую задачу при условии, что имеется четыре канала.
Определить число каналов обслуживания в задаче 1, чтобы относительная пропускная способность СМО была не менее 0,95.

Пример №6. Стол заказов магазина «Продукты» принимает заказы по двум телефонам. Среднее число поступающих заказов в течение часа – 80, среднее время оформления заказа – 3 минуты. Определите показатели системы массового обслуживания.
Методические рекомендации. Здесь n=2, λ = 80 в час, t = 3 мин. Перейти к решению.

Пример №7. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт по двум телефонам в течение часа – 120. Среднее время оформления одного заказа – 4 минуты. Определите и дайте оценку показателям эффективности системы массового обслуживания.
Методические рекомендации. Здесь n=2, λ = 120 в час, t = 4 мин. Перейти к решению.