Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений СМО с очередью Симплекс-метод Теория игр
Одноканальные СМО Многоканальные СМО СМО с отказами
Интенсивность нагрузки Уравнения Колмогорова Марковские процессы

Элементы теории массового обслуживания

Теория СМО посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело. Несмотря на все свое разнообразие, приведенные системы обладают рядом типичных свойств, а именно. Задача анализа СМО заключается в определении ряда показателей ее эффективности, которые можно разделить на следующие группы: Часть технических показателей (первые две группы) характеризуют систему с точки зрения потребителей, другая часть – характеризует систему с точки зрения её эксплуатационных свойств. Часто выбор перечисленных показателей, может улучшать эксплуатационные свойства системы, но ухудшать систему с точки зрения потребителей и наоборот. Использование экономических показателей позволяет разрешить указанное противоречие и оптимизировать систему с учетом обеих точек зрения.
В ходе выполнения домашней контрольной работы изучаются простейшие СМО. Это системы разомкнутого типа, бесконечный источник заявок в систему не входит. Входной поток заявок, потоки обслуживания и ожидания этих систем являются простейшими. Приоритеты отсутствуют. Системы однофазные.

Многоканальная система с отказами

Система состоит из одного узла обслуживания, содержащего n каналов обслуживания, каждый из которых может обслуживать только одну заявку.
Все каналы обслуживания одинаковой производительности и для модели системы неразличимы. Если заявка поступила в систему и застала хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка покидает систему не обслуженной.

Смешанные системы

  1. Система с ограничением на длину очереди.
    Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. Заявка покидает очередь и уходит из системы, если в накопителе к моменту ее появления уже находятся m заявок (m – максимально возможноечисло мест в очереди). Если заявка поступила в систему и застала, хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка не покидает систему, а занимает место в очереди. Заявка покидает систему не обслуженной, если к моменту её поступления в систему заняты все каналы обслуживания и все места в очереди.
    Для каждой системы определяется дисциплина очереди. Это система правил, определяющих порядок поступления заявок из очереди в узел обслуживания. Если все заявки и каналы обслуживания равнозначны, то чаще всего действует правило «кто раньше пришел, тот раньше обслуживается».
  2. Система с ограничением на длительность пребывания заявки в очереди.
    Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. От предыдущей системы она отличается тем, что заявка, поступившая в накопитель (очередь), может ожидать начала обслуживания лишь ограниченное время Тож (чаще всего это случайная величина). Если её время Тож истекло, то заявка покидает очередь и уходит из системы не обслуженной.

Математическое описание СМО

СМО рассматриваются как некоторые физические системы с дискретными состояниями х0, х1, …, хn, функционирующие при непрерывном времени t. Число состояний n может быть конечным или счетным (n → ∞). Система может переходить из одного состояния хi (i=1, 2, … ,n) в другое хj (j=0, 1, … ,n) в произвольный момент времени t. Чтобы показать правила таких переходов, используют схему, называемую графом состояний. Для типов перечисленных выше систем графы состояний образуют цепь, в которой каждое состояние (кроме крайних) связано прямой и обратной связью с двумя соседними состояниями. Это схема гибели и размножения.
Переходы из состояния в состояние происходят в случайные моменты времени. Удобно считать, что эти переходы происходят в результате действия каких-то потоков (потоков входных заявок, отказов в обслуживании заявок, потока восстановления приборов и т.д.). Если все потоки простейшие, то протекающий в системе случайный процесс с дискретным состоянием и непрерывным временем будет марковским.
Поток событий - это последовательность однотипных событий, протекающих в случайные моменты времени. Его можно рассматривать как последовательность случайных моментов времени t1, t2, … появления событий.
Простейшим называют поток, обладающий следующими свойствами: В простейшем потоке интервалы времени Т1, Т2,… между моментами t1, t2, … появления событий случайны, независимы между собой и имеют показательное распределение вероятностей f(t)=λe-λt, t≥0, λ=const, где λ - параметр показательного распределения, являющийся одновременно интенсивностью потока и представляющий собой среднее число событий, происходящих в единицу времени. Таким образом, t=M[T]=1/λ.
Марковские случайные события описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Переменными в них служат вероятности состояний р0(t), p1(t),…,pn(t).
Для очень больших моментов времени функционирования систем (теоретически при t → ∞) в простейших системах (системы, все потоки в которых – простейшие, а граф – схема гибели и размножения) наблюдается установившийся,или стационарныйрежим работы. В этом режиме система будет изменять свое состояние, но вероятности этих состояний (финальные вероятности) рк, к= 1, 2 ,…, n, не зависят от времени и могут рассматриваться как среднее относительное время пребывания системы в соответствующем состоянии.

Содержание

  1. Уравнения Колмогорова
  2. Марковские процессы, Марковская цепь
  3. Система массового обслуживания (Классификация систем массового обслуживания)
  4. Элементы теории массового обслуживания: Относительная пропускная способность, Абсолютная пропускная способность СМО
  5. СМО с ожиданием (очередью), Многоканальная СМО с ожиданиями, СМО с отказами
  6. Модель обслуживания машинного парка

Одноканальные СМО

  1. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания
  2. Одноканальная СМО с ожиданием
  3. Одноканальная СМО с отказами

Многоканальные СМО

  1. Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
  2. Многоканальная СМО с отказами
  3. Системы с ожиданием при неограниченном входящем потоке

Список литератур

Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Теория массового обслуживания в экономической сфере. М., 1998. – 319 с.