Модель обслуживания машинного парка
Особенности замкнутой системы массового обслуживания
До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность λ входящего потока заявок не зависит от состояния системы. В этом случае источник заявок является внешним по отношению к СМО и генерирует неограниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых λ зависит от состояния системы, причем источник требований является внутренним и генерирует ограниченный поток заявок.Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина может обслуживаться только одним механиком. Здесь машины являются источниками требований (заявок на обслуживание), а механики - обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и становится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность λ зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N - к) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания (к).
В рассматриваемой модели емкость источника требований следует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - k), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслуживания. При этом каждая машина из (N-k) находится в эксплуатации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсивностью λ независимо от других объектов; общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность (N - к) λ. Требование, поступившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из каналов не станет свободным.
Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.
Математическая модель
Состояние Sk системы характеризуется общим числом требований, находящихся на обслуживании и в очереди, равным к. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, k = 0, 1, 2, ..., N. При этом, если система находится в состоянии Sk, то число объектов, находящихся в эксплуатации, равно (N - k).Если λ - интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то
Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим образом:
Величина P0 определяется из условия нормирования ∑Pk=1 полученных результатов по формуле (41) для Pk, k=1,2, ... , N.
Определим следующие вероятностные характеристики системы:среднее число требований в очереди на обслуживание
, (42)
среднее число требований, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди)
, (43)
среднее число механиков (каналов), простаивающих из-за отсутствия работы
, (44)
коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди
, (45)
коэффициент 
использования объектов (машин) коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)
, (46)
среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания в очереди)
, (47)
Пример решения
Пример. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производительности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера -пуассоновский с интенсивностью λ = 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: t=1,25 час.Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:
- оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R= 2, N= 10;
- каждый из двух инженеров обслуживает по пять закрепленных за ним ПК. В этом случае R= 1, N= 5.
Решение производим с помощью калькулятора.
1. Вычислим параметр обслуживания
2. Приведенная интенсивность
3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух вариантов организации обслуживания ПК.
Вариант 1• Определим вероятности состояний системы:
Определим среднее число компьютеров в очереди на обслуживание:
Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:
Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий:
Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле
Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитывается так:
Таким образом, в варианте 1 каждый компьютер стоит в очереди в ожидании начала его обслуживания приблизительно 0,142 части рабочего времени, что меньше этого показателя при варианте 2 организации работ. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК в любой момент времени будет работать выше, чем в варианте 2, и равна а12= 0,689 > ά22 = 0,64. Очевидно, вариант 1 организации работ по обслуживанию ПК эффективнее, чем вариант 2.
