Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Существует способ построения графика функции, основанный на аналитическом исследовании функции. Исследование проводится по следующей примерной схеме:1) выяснение области определения функции;
2) решается вопрос о четности или нечетности функции;
3) исследуется периодичность функции;
4) находят точки пересечения кривой с осями координат;
5) находят точки разрыва функции и определяют их характер;
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции;
7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой;
8) отыскание асимптот кривой;
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.
Построить график без исследования функции (получить просто рисунок) можно с помощью этого сервиса.
Правила ввода функции
≡ x^2/(x+2)
cos2(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Пример №1. Провести полное исследование функции 
и построить ее график.
1) Функция определена всюду, кроме точек 
.
2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке 
, причем 
, 
.
Попутно отметим, что прямая 
– вертикальная асимптота.
6) Находим 
и приравниваем ее к нулю: 
, откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.
7) Находим 
. Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции.
В нашем случае y”>0 на промежутке (0, 
) и y”<0 на (
, +∞), следовательно, на (0, 
) кривая вогнута и выпукла на (
, ∞).
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты 
установлено выше. Ищем горизонтальные: 
, следовательно, горизонтальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты: 
, 
, следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.
9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:
Пример №2. Построить график функции 
.
Решение.
1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞).
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ; имеем
; 
.
4. Точки разрыва x=0, причем 
; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты:
;
.
Наклонная асимптота имеет уравнение y=x.
5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем 
. Существует единственная критическая точка x=2. В промежутках x∈(-∞ ;0)∪(2; +∞) y'>0, следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(0;2) y'<0, функция убывает. Далее, находим 
; y''(2)>0, следовательно, x=2 – точка минимума ymin=3.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.
Строим график функции.
