Свойства функций
Нули функцииНулём функции называется то значение х, при котором функция обращается в 0, то есть f(x)=0.
Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох.
Четность функции
Функция называется чётной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x)
Четная функция симметрична относительно оси Оу
Нечетность функции
Функция называется нечётной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).
Нечетная функция симметрична относительно начала координат .
Функция которая не является ни чётной ,ни нечётной называется функцией общего вида.
Возрастание функции
Функция f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. x2>x1 → f(x2)>f(x1)
Убывание функции
Функция f(x) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. x2>x1 → f(x2)<f(x1)
Промежутки, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает, называются промежутками монотонности. Функция f(x) имеет 3 промежутка монотонности:
(-∞ x1), (x1, x2), (x3; +∞)
Находят промежутки монотонности с помощью сервиса Интервалы возрастания и убывания функции
Локальный максимум
Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0) > f(x)
Локальный минимум
Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0) < f(x).
Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.
x1, x2 - точки локального экстремума.
Периодичность функции
Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т, если для любого х выполняется равенство f(x+T) = f(x).
Промежутки знакопостоянства
Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна, называются промежутками знакопостоянства.
f(x)>0 при x∈(x1, x2)∪(x2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x1)∪(x1, x2)
Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел функции при x → x0 равен значению функции в этой точке, т.е. 
.
Точки разрыва
Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.
x0- точка разрыва.
Общая схема для построения графиков функций
1. Найти область определения функции D(y).2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.
3. Исследовать функцию на четность или нечетность.
4. Исследовать функцию на периодичность.
5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
7. Найти асимптоты функции.
8. По результатам исследования построить график.
Пример: Исследовать функцию и построить ее график: y = x3 – 3x
Решение можно найти онлайн:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения D(y) = (-∞; +∞).
2) Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью ОХ : решим уравнение x3 – 3x = 0
.3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной:
y(-x) = (-x)3 – 3(-x) = -x3 + 3x = - (x3 – 3x) = -y(x)
Отсюда следует, что функция является нечетной.
4) Функция непериодична.
5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y′ = 3x2 - 3.
Критические точки: 3x2 – 3 = 0, x2 =1, x= ±1.
y(1) = 13 – 3*1 = -2
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: y″ = 6x
Критические точки: 6x = 0, x = 0.
y(0) = 03 – 3*0 = 0
7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
8) По результатам исследования построим график функции:
