Решение СЛАУ методом Крамера

• Ввод данных
• Решение
• Инструкция
• Также решают

Количество переменных - +

...load...

Действия

• Загрузить предыдущие

Пример

Здесь Матрица А:

Матрица B:
0
14
16

Здесь будет отображаться решение.

Инструкция. Выберите количество переменных, нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения СЛАУ методом Крамера). Также автоматически генерируется шаблон решения в Excel, SMath Studio, Maxima и Scilab.

Видеоинструкция

Скачать пример оформления

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
По координатам вершин треугольника найти площадь, уравнения сторон, уравнение медианы, уравнение биссектрисы►
По координатам вершин пирамиды найти ►
Построение графика функции методом дифференциального исчисления

• Экстремум функции двух переменных
• Вычисление пределов

Назначение метода Крамера: с помощью формул Крамера находится решение системы линейных уравнений. Сам метод принадлежит к прямым методам нахождения СЛАУ.
Кратко алгоритм метода Крамера можно описать тремя шагами:

1. Находим определитель D исходной матрицы A.
2. В цикле от 1 до n заменяем i-ый столбец матрицы на столбец результатов B. Находим текущий определитель D_i полученной матрицы.
3. x_i находится делением D_i на D: xi = Di / D.

Дерево решения

Вывод:

• Смысл метода Крамера: находим определитель D_i, получаемый из заменой i-го столбца на столбец свободных членов и делим его на главный определитель D.
  xi = Di / D
• Метод Крамера относится к простым для реализации методам решения СЛАУ и получил широкое распространение в разных областях знаний (например, при нахождении уравнений регрессий). Недостатком метода является его практическая непригодность для вычисления СЛАУ с большим количеством переменных (от 5 и выше). Для этого случая используют приближенные методы (например, метод простой итерации).

Примеры решения методом Крамера

Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде: , B^T = (20,11,40,37)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
Найдем определитель для этого минора: ∆_1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):
∆_2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):
∆_3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):
∆_4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Главный определитель: ∆ = 2∙(-67)-1∙(-89)+2∙(-6)-3∙(-16) = -9
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы: ∆_1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):
∆_2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):
∆_3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):
∆_4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Определитель минора:
∆₁ = 20∙(-67)-11∙(-89)+40∙(-6)-37∙(-16)

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
∆_1,1 = 11∙(9∙2-9∙9)-40∙(2∙2-9∙1)+37∙(2∙9-9∙1)= -160
Минор для (2,1):
∆_2,1 = 20∙(9∙2-9∙9)-40∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙9-9∙1)= -221
Минор для (3,1):
∆_3,1 = 20∙(2∙2-9∙1)-11∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙1-2∙1)= -15
Минор для (4,1):
∆_4,1 = 20∙(2∙9-9∙1)-11∙(4∙9-9∙1)+40∙(4∙1-2∙1)= -37
Определитель минора:
∆₂ = 2∙(-160)-1∙(-221)+2∙(-15)-3∙(-37)

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
∆_1,1 = 3∙(40∙2-37∙9)-10∙(11∙2-37∙1)+8∙(11∙9-40∙1)= -137
Минор для (2,1):
∆_2,1 = 5∙(40∙2-37∙9)-10∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙9-40∙1)= -175
Минор для (3,1):
∆_3,1 = 5∙(11∙2-37∙1)-3∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙1-11∙1)= -12
Минор для (4,1):
∆_4,1 = 5∙(11∙9-40∙1)-3∙(20∙9-40∙1)+10∙(20∙1-11∙1)= -35
Определитель минора:
∆₃ = 2∙(-137)-1∙(-175)+2∙(-12)-3∙(-35)

Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
∆_1,1 = 3∙(9∙37-9∙40)-10∙(2∙37-9∙11)+8∙(2∙40-9∙11)= 17
Минор для (2,1):
∆_2,1 = 5∙(9∙37-9∙40)-10∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙40-9∙20)= 25
Минор для (3,1):
∆_3,1 = 5∙(2∙37-9∙11)-3∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙11-2∙20)= 3
Минор для (4,1):
∆_4,1 = 5∙(2∙40-9∙11)-3∙(4∙40-9∙20)+10∙(4∙11-2∙20)= 5
Определитель минора:
∆₄ = 2∙17-1∙25+2∙3-3∙5

Выпишем отдельно найденные переменные Х:
, , ,

см. также Вычисление определителя разложением по столбцу.

Пример №2.
x + 2y + 3z= 6
4x + 5y + 6z= 9
7x + 8y= -6

Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:

Пример №2.
2x₁ -x₂+ 12x₃ - 5x₄ = 1
x₁ -x₂ - 5x₃ = 0
3x₁ -2x₂ - 2x₃ - 5x₄ = 3
7x₁ - 5x₂ - 9x₃ - x₄ = 4

Запишем систему в виде:

Пример №3.
2x + y - z = -1
x - 2y + 2z = -3
3x + y + z = -8

Запишем систему в виде:

Пример №4. Запишем систему в виде:

Пример №5. Запишем матрицу в виде:

Пример №6. При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если:

• столбцы матрицы А линейно независимы;
• определитель матрицы А не равен нулю;

Пример №7. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение с помощью формул Крамера. Выполнить проверку полученного решения.
-75x₁ + 35 x₂ + 25 x₃ = -4,5
25x₁ - 70x₂ + 25 x₃ = -20
15x₁ + 10x₂ - 55 x₃ = -30

Решение. Запишем систему в виде: , B^T = (-4.5,-20,-30)
Главный определитель: ∆ = -75∙(-70∙(-55)-10∙25)-25∙(35∙(-55)-10∙25)+15∙(35∙25-(-70∙25))= -176250 = -176250
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = -4.5∙(-70∙(-55)-10∙25)-(-20∙(35∙(-55)-10∙25))+(-30∙(35∙25-(-70∙25)))= -138450

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = -75∙(-20∙(-55)-(-30∙25))-25∙(-4.5∙(-55)-(-30∙25))+15∙(-4.5∙25-(-20∙25))= -157875

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = -75∙(-70∙(-30)-10∙(-20))-25∙(35∙(-30)-10∙(-4.5))+15∙(35∙(-20)-(-70∙(-4.5)))= -162600

Ответ: , ,

Видеоинструкция

Пример №8. Решить данную систему уравнений пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
Скачать решение

Примеры решений СЛАУ методом Крамера в различных математических пакетах

1. Метод Крамера в Excel

2. Метод Крамера в SMath Studio

   

3. Метод Крамера в Maxima

   A:matrix([2,7,6],[0,-2,5],[1/2,0,1]);
   B:matrix([10],[20],[30]);
   /* 1. Находим главный определитель матрицы коэффициентов A */
   det_A: determinant(A)$
   print("=========================================")$
   print("РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ КРАМЕРА")$
   print("=========================================")$
   print("Главный определитель det(A) =", det_A)$
   /* 2. Проверка главного определителя на ноль */
   if det_A = 0 then (
       print("Ошибка: Главный определитель равен 0. Метод Крамера применить нельзя!"),
       X: "Решений нет или бесконечно много"
   ) else (
       /* Определяем размерность матрицы (количество строк) */
       n: length(A),
       /* Создаем пустой список для хранения финальных ответов */
       X: [],
       /* 3. Цикл расчета дополнительных определителей для каждой переменной */
       for i: 1 step 1 while i <= n do (
           /* Копируем исходную матрицу, чтобы не испортить её в цикле */
           A_temp: copymatrix(A),
           /* Заменяем i-й столбец матрицы A на столбец свободных членов B */
           for j: 1 step 1 while j <= n do (
               A_temp[j, i]: B[j, 1]
           ),
           /* Считаем дополнительный определитель det_Xi */
           det_Xi: determinant(A_temp),
           print(ssubst(string(i), "i", "Дополнительный определитель det(A_i) ="), det_Xi),
           /* Находим значение переменной по формуле Крамера: x_i = det_A_i / det_A */
           x_i: det_Xi / det_A,
           X: endcons(x_i, X)
       ),
       print("-----------------------------------------"),
       print("Вектор решений X:"),
       print(X)
   )$
   		

4. Метод Крамера в Scilab

   A = [2,7,6;0,-2,5;1/2,0,1];
   B = [10;20;30];
   // 1. Расчет главного определителя
   det_A = det(A);
   mprintf("\n=========================================\n");
   mprintf("РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ КРАМЕРА\n");
   mprintf("=========================================\n");
   mprintf("Главный определитель det(A) = %g\n", det_A);
   // 2. Проверка матрицы на вырожденность (деление на ноль)
   if abs(det_A) < 1e-12 then
       mprintf("Ошибка: Главный определитель близок к 0. Метод Крамера применить нельзя!\n");
       X = [];
   else
       n = size(A, 1); // Определяем размерность системы (кол-во строк)
       X = zeros(n, 1); // Создаем пустой вектор-столбец для ответов
       // 3. Цикл расчета дополнительных определителей
       for i = 1:n
           A_temp = A;          // Копируем исходную матрицу
           A_temp(:, i) = B;    // Заменяем i-й столбец на вектор B
           det_Xi = det(A_temp); // Считаем дополнительный определитель
           // Находим корень по формуле Крамера: x_i = det_A_i / det_A
           X(i) = det_Xi / det_A; 
           // Красивый форматированный вывод шага вычислений
           mprintf("x_%d = %7.2f / %7.2f = %7.2f\n", i, det_Xi, det_A, X(i));
       end
       mprintf("-----------------------------------------\n");
       mprintf("Вектор решений X:\n");
       disp(X);
   end
   mprintf("=========================================\n");