Вращение пирамиды Построить график функции Точки разрыва функции Упростить выражение
Примеры решений Интегралы онлайн Пределы онлайн Производная онлайн Корни уравнения Метод матриц Обратная матрица Умножение матриц По координатам пирамиды найти Собственные числа матрицы

Прямая на плоскости

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках A, B, C. По координатам вершин треугольника найти:
  1. координаты точки пересечения медиан;
  2. длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;
  3. площадь треугольника;
  4. систему неравенств, задающих внутренность треугольника АВС.

Инструкция. Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word. см. примеры решений.

Координаты вершин Использовать обозначение A, B, C
A: (; )
B: (; )
C: (; )
Найти
1. Угол через свойство векторов как угол между прямыми
2. Координаты точки М, делящий в отношении: :
(при 1:1 означает деление отрезка пополам см. пример)
3. Проекция стороны на сторону
4. Уравнение медианы из вершины и ее длину
5. Уравнение высоты из вершины и ее длину
7. Уравнение биссектрисы из вершины , используя: свойства векторов свойства углов
8. Уравнение прямой, перпендикулярной прямой , проходящей через точку K ( : )
9. Уравнение прямой, параллельной прямой , проходящей через точку K ( : )

Выводить в отчет:
Векторы сторон треугольника в системе орт
Площадь треугольника ABC
Уравнение прямой AB
Уравнение прямой AC
Уравнение прямой BC
Координаты точки пересечения медиан (координаты центра тяжести треугольника)
Координаты точки пересечения высот

Пример №1. В задачах даны координаты точек A,B,C. Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC.
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=xj-xi; Y=yj-yi
здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB: X=x2-x1=12-7=5; Y=y2-y1=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:




3) Угол между прямыми. Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:

где a1a2=X1X2+Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.88) = 28.070
8) Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB. Каноническое уравнение прямой:
или
y=3/5x-41/5 или 5y-3x+41=0

Пример №2. Вершины треугольника имеют координаты A(1; 3.5), B(16.5; 3.5), C(11; 19). Рассматриваются горизонтальные линии, задаваемые уравнениями y=n, где n - целое.
Найдите сумму длин отрезков, высекаемых на этих прямых сторонами треугольника.
Решение.

  1. Используя калькулятор, находим уравнения сторон треугольника CA, CB.
    Уравнение прямой AC.
    Каноническое уравнение прямой: или y = 1.55x + 1.95 или y -1.55x - 1.95 = 0
    Уравнение прямой BC
    Каноническое уравнение прямой: или y = -2.82x + 50 или y + 2.82x - 50 = 0
  2. Пусть n=15, y=15. Находим точки пересечения с прямыми AC и BC.
    {15 -1.55x - 1.95 = 0
    15 + 2.82x - 50 = 0
    Откуда x1 = (15-1.95)/1.55 = 8.42; x2 = (50-15)/2.82 = 12.41
    Длина отрезка |a|=x2-x1 = 12.41-8.42 = 3.99 ≈ 4