Прямая на плоскости. Примеры решений

Задание. Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС.
а) Найти уравнения сторон треугольника АВС.
б) Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС.
в) Найти уравнение одной из высот треугольника АВС.
г) Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС.
д) Найти площадь треугольника АВС.

Решение проводим с помощью калькулятора.
Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i
здесь X,Y координаты вектора; x_i, y_i - координаты точки А_i; x_j, y_j - координаты точки А_j
Например, для вектора AB
X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁), a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.6) = 53.13⁰
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:

Найдем проекцию вектора AB на вектор AC

5) Площадь треугольника
Пусть точки A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m₁:m₂, определяется формулой:

Координаты точки А находятся по формулам:

Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:

или

или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

или

или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC

или

или
y = ¹/₃x + ¹/₃ или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC

или

или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)

9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k₁ = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = ^-1/₃
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = ^-1/₃,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = -1, k = ^-1/₃, y₀ = 0 получим:
y-0 = ^-1/₃(x-(-1))
или
y = ^-1/₃x - ¹/₃
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:

Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53⁰
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 26.5⁰
Тангенс угла наклона AB равен 3 (т.к. y -3x +5 = 0). Угол наклона равен 72
^NKA≈ 180⁰ - 72⁰ = 108⁰
^ANK ≈ 180⁰ - (108⁰ + 26.5⁰) ≈ 45.5⁰
tg(45.5⁰) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y - y₀ = k(x - x₀)
y - 1 = 1(x - 2)
или
y = x -1
Скачать

Пример. Даны координаты вершин треугольника АВС: А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2).
Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В; 4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.

Задание. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Требуется:

составить уравнение медианы, проведенной из вершины B, и вычислить ее длину.
составить уравнение высоты, проведенной из вершины A, и вычислить ее длину.
найти косинус внутреннего угла B треугольника ABC.

Сделать чертеж.

Скачать решение

Пример №3. Даны вершины A(1;1), B(7;4), C(4;5) треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A в радианах с точностью до 0,001. Сделать чертеж.
Скачать

Пример №4. Даны вершины A(1;1), B(7;4), C(4;5) треугольника. Найти: 1) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 2) уравнение медианы, проведенной через вершину C; 3) точку пересечения высот треугольника; 4) длину высоты, опущенной из вершины C. Сделать чертеж.
Скачать

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №5. Даны вершины треугольника ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Определите: 1) длину стороны AB; 2) уравнение сторон AB и AC и их угловые коэффициенты; 3) площадь треугольника.

Решение
Видео решение

Координаты векторов находим по формуле: X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i
здесь X,Y координаты вектора; x_i, y_i - координаты точки А_i; x_j, y_j - координаты точки А_j
Например, для вектора AB
X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Длина сторон треугольника
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

Площадь треугольника
Пусть точки A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = ^-3/₄x ^-15/₄ или 4y + 3x +15 = 0
Угловой коэффициент прямой AB равен k = ^-3/₄
Уравнение прямой AC

или

или
y = ¹³/₁₆x + ⁶⁵/₁₆ или 16y -13x - 65 = 0
Угловой коэффициент прямой AB равен k = ¹³/₁₆

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задание. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

Записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов.
Найти угол между векторами.
Найти проекцию вектора на вектор.
Найти площадь грани ABC.
Найти объем пирамиды ABCD.

Решение
A₁(1,8,2), A₂(5,2,6), A₃(0,-1,-2), A₄(-2,3,-1):Пример №1
A₁(1,8,2), A₂(5,2,6), A₃(0,-1,-2), A₄(-2,3,-1):Пример №2
A₁(5,2,1), A₂(-3,9,3), A₃(-1,3,5), A₄(-1,-5,2):Пример №3
A₁(-1,0,2), A₂(-2,0,6), A₃(-3,1,2), A₄(-1,2,4):Пример №4

Задание. Найти острый угол между прямыми x + y -5 = 0 и x + 4y - 8 = 0.
Рекомендации к решению. Задача решается посредством сервиса Угол между двумя прямыми.
Ответ: 30.96^o

Пример №1. Даны координаты точек А1(1;0;2), A2(2;1;1), А3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3. Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4.

Решение
Видео решение

Координаты векторов находим по формуле: X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i
здесь X,Y,Z координаты вектора; x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;
Так, для вектора A₁A₂ они будут следующими:
X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A₁A₂(1;1;-1)
A₁A₃(-2;2;-2)
A₁A₄(-3;-1;-3)
A₂A₃(-3;1;-1)
A₂A₄(-4;-2;-2)
A₃A₄(-1;-3;-1)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

Площадь грани находим по формуле:

где

Найдем площадь грани A₁A₂A₃
Для этого найдем угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃:

Тогда площадь грани A₁A₂A₃ будет равна:

Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

где определитель матрицы равен: ∆ = 1 • (2 • (-3)-(-1) • (-2))-(-2) • (1 • (-3)-(-1) • (-1))+(-3) • (1 • (-2)-2 • (-1)) = -16
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A₁A₂ находим как:

Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Находим уравнение плоскости A₁A₂A₃

(x-1)(1 • (-2)-2 • (-1)) - (y-0)(1 • (-2)-(-2) • (-1)) + (z-2)(1 • 2-(-2) • 1) = 4y + 4z-8 = 0
или y + z - 2 = 0
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

т.е. уравнение высоты равно:

A₁(-1,0,2), A₂(-2,0,6), A₃(-3,1,2), A₄(-1,2,4):Пример №5

Задание. По координатам вершин пирамиды А1,А2,А3,А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3;4) объем пирамиды А1А2А3А4
A₁(3;5;4,0,0), A₂(8;7;4,0,0), A₃(5;10;4,0,0), A₄(4;7;9,0,0):Пример №10

Решение 1, Решение 2

Пример. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите длину ребра AB, косинус угла между векторами, уравнение ребра, уравнение грани, уравнение высоты.
Решение

Пример. Даны вершины треугольника А(1, –1, -3), В(2, 0, -10), С(3, 0, -2).
а) Найти уравнение биссектрисы и высоты данного треугольника, проведенных из вершины A.
б) Найти уравнения всех его медиан и координаты точки их пересечения.
см. также Как найти периметр треугольника

Прямая на плоскости. Примеры решений

Правила ввода данных

Поиск

Процесс

Сообщение