Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Обратная матрица
Определитель матрицы Умножение матриц Алгебраические дополнения
Скалярное произведение Метод обратной матрицы Матричные уравнения

Действия над матрицами

Назначение сервиса. Матричный калькулятор предназначен для решения матричных выражений, например, таких как, 3A-CB2 или A-1+BT.
Инструкция. Для онлайн решения необходимо задать матричное выражение. На втором этапе необходимо будет уточнить размерность матриц.
Действия над матрицами
Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1), возведение в степень (A^2, B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1), возведение в степень (A^2, B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Для выполнения списка операций используйте разделитель точка с запятой (;). Например, для выполнения трех операций:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В)-1
необходимо будет записать так:3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матрица - прямоугольная числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.
Единичной матрицей называется квадратная матрица вида


Две матрицы A и B равны, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Вырожденной матрицей называется матрица, определитель которой равен нулю (Δ = 0).

Определим основные операции над матрицами.

Сложение матриц

Определение. Суммой двух матриц A=||aik|| и B=||bik|| одинакового размера называется матрица C=||cik|| тех же размеров, элементы которой находятся по формуле cik=aik+bik. Обозначается C=A+B.

Пример 6. .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что A+0=A.
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.

Вычитание матриц

Определение. Разностью B-A матриц B и A одинакового размера называется такая матрица C, что A+C=B.

Умножение матриц

Определение. Произведением матрицы A=||aik|| на число α называется матрица C=||cik||, получающаяся из A умножением всех ее элементов на α, cik=α·aik.

Определение. Пусть даны две матрицы A=||aik|| (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) и B=||bik|| (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), причем число столбцов A равно числу строк B. Произведением A на B называется матрица C=||cik||, элементы которой находятся по формуле .
Обозначается C=A·B.
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:

а правило вычисления элемента в произведении:

Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор.

Пример 7. Даны матрицы и . Найти матрицы C = A·B и D = B·A.
Решение. Прежде всего заметим, что произведение A·B существует, так как число столбцов A равно числу строк B.


Заметим, что в общем случае A·B≠B·A, т.е. произведение матриц антикоммутативно.
Найдем B·A (умножение возможно).

Пример 8. Дана матрица . Найти 3A2 – 2A.
Решение.
.
; Умножение матрицы на число.
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

Пример 9. Если и , то
.

Умножение матрицы на число

При умножении числа b матрицы A=(aij) получается матрица, элементы которой равны b·aij (каждый элемент матрицы умножается на число b).

Подробнее о том, почему нельзя делить матрицы.

Скачать.

Пример 9. Найти значение многочлена f(x) от матрицы A, если f(x)=2x2–3x+5.
2*A^2-3*A+5*B
где A - матрица из задания, B = E - единичная матрица.