Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Умножение матриц
Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица
Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн

Системы линейных уравнений

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для исследования системы линейных уравнений. Обычно в условии задачи требуется найти общее и частное решение системы. При исследовании систем линейных уравнений решаются следующие задачи:
  1. является ли система совместной;
  2. если система совместна, то определенна или неопределенна (критерий совместности системы определяется по теореме);
  3. если система определенна, то как найти ее единственное решение (используются метод Крамера, метод обратной матрицы или метод Жордана-Гаусса);
  4. если система неопределенна, то как описать множество ее решений.
Инструкция. Для получения онлайн решения необходимо выбрать
количество переменных: и количество строк
Результат исследования сохраняется в формате Word и Excel (см. пример решения).

Классификация систем линейных уравнений

Произвольная система линейных уравнений имеет вид:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
  1. Системы линейных неоднородных уравнений (количество переменных равно количеству уравнений, m = n).
  2. Произвольные системы линейных неоднородных уравнений (m > n или m < n).
  3. Системы линейных однородных уравнений.
Определение. Решением системы называется всякая совокупность чисел c1,c2,...,cn, подстановка которых в систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.

Алгоритм решения систем линейных уравнений

  1. Находим ранги основной и расширенной матриц. Если они не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна и на этом исследование заканчивается.
  2. Пусть rang(A) = rang(B). Выделяем базисный минор. При этом все неизвестные системы линейных уравнений подразделяются на два класса. Неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, называют зависимыми, а неизвестные, коэффициенты при которых не попали в базисный минор – свободными. Заметим, что выбор зависимых и свободных неизвестных не всегда однозначен.
  3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
  4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
  5. Полученная система решается одним из способов: метод Крамера, метод обратной матрицы или метод Жордана-Гаусса. Находятся соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.