Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Обратная матрица
Определитель матрицы Умножение матриц Алгебраические дополнения
Скалярное произведение Действия над матрицами Матричные уравнения

Решение СЛАУ методом обратной матрицы

Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x1, x2, ..., xn} в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы. При этом: Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word.
Инструкция. Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B.
Количество переменных
Напомним, что решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел {x1, x2, ..., xn}, подстановка которых в эту систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
Система линейных алгебраических уравнений обычно записывается как (для 3-х переменных):
2x1-3x2+x3 = 4
-x1+2x2+5x3 = 10
3x1-x2+3x3 = -1
или 2x-3y+z = 4
-z+2y+5z = 10
3x-y+3z = -1
См. также Решение матричных уравнений.

Алгоритм решения

  1. Вычисляется определитель матрицы A. Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
  2. При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A-1.
  3. Вектор решения X={x1, x2, ..., xn} получается умножением обратной матрицы на вектор результата B.

Пример №1. Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:

231
-210
12-2
Вектор B:
BT = (3,-2,-1)
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆ = 2•(1•(-2)-2•0)-(-2•(3•(-2)-2•1))+1•(3•0-1•1) = -21
Итак, определитель -21 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица
AT =
2-21
312
10-2

Алгебраические дополнения.
A1,1 = (-1)1+1
12
0-2
1,1 = (1•(-2)-0•2) = -2

A1,2 = (-1)1+2
32
1-2
1,2 = -(3•(-2)-1•2) = 8

A1,3 = (-1)1+3
31
10
1,3 = (3•0-1•1) = -1

A2,1 = (-1)2+1
-21
0-2
2,1 = -(-2•(-2)-0•1) = -4

A2,2 = (-1)2+2
21
1-2
2,2 = (2•(-2)-1•1) = -5

A2,3 = (-1)2+3
2-2
10
2,3 = -(2•0-1•(-2)) = -2

A3,1 = (-1)3+1
-21
12
3,1 = (-2•2-1•1) = -5

A3,2 = (-1)3+2
21
32
3,2 = -(2•2-3•1) = -1

A3,3 = (-1)3+3
2-2
31
3,3 = (2•1-3•(-2)) = 8

Обратная матрица:

A-1 = -1/21
-28-1
-4-5-2
-5-18

Вектор результатов X = A-1 • B
X = -1/21
-28-1
-4-5-2
-5-18
·
3
-2
-1

XT = (1,0,1)
x1 = -21 / -21 = 1
x2 = 0 / -21 = 0
x3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2•1+3•0+1•1 = 3
-2•1+1•0+0•1 = -2
1•1+2•0+-2•1 = -1

Пример №2. Решить СЛАУ методом обратной матрицы.
2 x 1 + 3x2 + 3x3+ x4= 1
3 x 1 + 5x2 + 3x3+ 2x4= 2
5 x 1 + 7x2 + 6x3+ 2x4= 3
4 x 1 + 4x2 + 3x3+ x4= 4

Запишем матрицу в виде:

Вектор B:
BT = (1,2,3,4)
Главный определитель
Минор для (1,1):

 = 5•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•2)+4•(3•2-6•2) = -3
Минор для (2,1):

 = 3•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•1)+4•(3•2-6•1) = 0
Минор для (3,1):

 = 3•(3•1-3•2)-5•(3•1-3•1)+4•(3•2-3•1) = 3
Минор для (4,1):

 = 3•(3•2-6•2)-5•(3•2-6•1)+7•(3•2-3•1) = 3
Определитель минора
∆ = 2•(-3)-3•0+5•3-4•3 = -3

Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

1,1 = 5•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+2•(7•3-6•4) = -3

1,2 = -3•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+1•(7•3-6•4) = 0

1,3 = 3•(3•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-3•4) = 3

1,4 = -3•(3•2-2•6)-3•(5•2-2•7)+1•(5•6-3•7) = -3

2,1 = -3•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+2•(5•3-6•4) = 9

2,2 = 2•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-6•4) = 0

2,3 = -2•(3•1-2•3)-3•(3•1-2•4)+1•(3•3-3•4) = -6

2,4 = 2•(3•2-2•6)-3•(3•2-2•5)+1•(3•6-3•5) = 3

3,1 = 3•(7•1-2•4)-5•(5•1-2•4)+2•(5•4-7•4) = -4

3,2 = -2•(7•1-2•4)-3•(5•1-2•4)+1•(5•4-7•4) = 1

3,3 = 2•(5•1-2•4)-3•(3•1-2•4)+1•(3•4-5•4) = 1

3,4 = -2•(5•2-2•7)-3•(3•2-2•5)+1•(3•7-5•5) = 0

4,1 = -3•(7•3-6•4)-5•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -12

4,2 = 2•(7•3-6•4)-3•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -3

4,3 = -2•(5•3-3•4)-3•(3•3-3•4)+3•(3•4-5•4) = 9

4,4 = 2•(5•6-3•7)-3•(3•6-3•5)+3•(3•7-5•5) = -3
Обратная матрица

Вектор результатов X
X = A-1 ∙ B


XT = (2,-1,-0.33,1)
x1 = 2; x2 = -1; x3 = -0.33; x4 = 1

Пример №3. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.
Решение:xls

Пример №4. Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.
Решение:xls

Пример №5. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.
Методические рекомендации. После решения методом Крамера, найдите кнопку "Решение методом обратной матрицы для исходных данных". Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется.
Решение. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

-130
3-21
21-1
Вектор B:
BT=(4,-3,-3)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-1•(-2•(-1)-1•1)-3•(3•(-1)-1•0)+2•(3•1-(-2•0))=14
Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
Тогда:
A=1/∆
A11A21A31
A12A22A32
A13A23A33
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица
AT=
-132
3-21
01-1
Вычисляем алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
-21
1-1
1,1=(-2•(-1)-1•1)=1
A1,2=(-1)1+2
31
0-1
1,2=-(3•(-1)-0•1)=3
A1,3=(-1)1+3
3-2
01
1,3=(3•1-0•(-2))=3
A2,1=(-1)2+1
32
1-1
2,1=-(3•(-1)-1•2)=5
A2,2=(-1)2+2
-12
0-1
2,2=(-1•(-1)-0•2)=1
A2,3=(-1)2+3
-13
01
2,3=-(-1•1-0•3)=1
A3,1=(-1)3+1
32
-21
3,1=(3•1-(-2•2))=7
A3,2=(-1)3+2
-12
31
3,2=-(-1•1-3•2)=7
A3,3=(-1)3+3
-13
3-2
3,3=(-1•(-2)-3•3)=-7
Обратная матрица
A-1=1/14
133
511
77-7
Вектор результатов X
X=A-1 • B
X=1/14
133
511
77-7
·
4
-3
-3
X=1/14
-3))
X=1/14
-14
14
28
XT=(-1,1,2)
x1=-14 / 14=-1
x2=14 / 14=1
x3=28 / 14=2
Проверка.
-1•-1+3•1+0•2=4
3•-1+-2•1+1•2=-3
2•-1+1•1+-1•2=-3
doc:xls
Ответ: -1,1,2.

Пример №6. Решить неоднородную систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

Запишем матрицу в виде:

41-1
20-2
031
Главный определитель
∆=4•(0•1-3•(-2))-2•(1•1-3•(-1))+0•(1•(-2)-0•(-1))=16
Транспонированная матрица
AT=
420
103
-1-21
Алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
03
-21
1,1=(0•1-(-2•3))=6
A1,2=(-1)1+2
13
-11
1,2=-(1•1-(-1•3))=-4
A1,3=(-1)1+3
10
-1-2
1,3=(1•(-2)-(-1•0))=-2
A2,1=(-1)2+1
20
-21
2,1=-(2•1-(-2•0))=-2
A2,2=(-1)2+2
40
-11
2,2=(4•1-(-1•0))=4
A2,3=(-1)2+3
42
-1-2
2,3=-(4•(-2)-(-1•2))=6
A3,1=(-1)3+1
20
03
3,1=(2•3-0•0)=6
A3,2=(-1)3+2
40
13
3,2=-(4•3-1•0)=-12
A3,3=(-1)3+3
42
10
3,3=(4•0-1•2)=-2
Обратная матрица
A-1=1/16
6-4-2
-246
6-12-2
A-1=
0,38-0,25-0,13
-0,130,250,38
0,38-0,75-0,13
Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
E=A*A-1=
41-1
20-2
031
1/16
6-4-2
-246
6-12-2
E=A*A-1=

(4•6)+(1•(-2))+(-1•6) (4•(-4))+(1•4)+(-1•(-12)) (4•(-2))+(1•6)+(-1•(-2))
(2•6)+(0•(-2))+(-2•6) (2•(-4))+(0•4)+(-2•(-12)) (2•(-2))+(0•6)+(-2•(-2))
(0•6)+(3•(-2))+(1•6) (0•(-4))+(3•4)+(1•(-12)) (0•(-2))+(3•6)+(1•(-2))

=1/16
1600
0160
0016
A*A-1=
100
010
001

Пример №7. Решение матричных уравнений.
Обозначим:

A =
305
214
-130
B =
2-13
1-18
10-4
Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 3*(1*0 - 3*4) - 2*(0*0 - 3*5) + -1*(0*4 - 1*5) = -1
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
32-1
013
540
Алгебраические дополнения
A1,1 = (-1)1+1
13
40
1,1 = (1*0 - 4*3) = -12
A1,2 = (-1)1+2
03
50
1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15
A1,3 = (-1)1+3
01
54
1,3 = (0*4 - 5*1) = -5
A2,1 = (-1)2+1
2-1
40
2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4
A2,2 = (-1)2+2
3-1
50
2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5
A2,3 = (-1)2+3
32
54
2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2
A3,1 = (-1)3+1
2-1
13
3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
A3,2 = (-1)3+2
3-1
03
3,2 = -(3*3 - 0*(-1)) = -9
A3,3 = (-1)3+3
32
01
3,3 = (3*1 - 0*2) = 3
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/-1
-1215-5
-45-2
7-93
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
X =
2-13
1-18
10-4
· 1/-1
-1215-5
-45-2
7-93
=
-12-1
-4862-21
40-5117
Ответ:
X =
-12-1
-4862-21
40-5117

Пример №8. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

-2-16
1-12
24-3
Вектор B:
BT=(31,13,10)

Посмотреть все шаги решения

XT=(4.05,6.13,7.54)
x1=158 / 39=4.05
x2=239 / 39=6.13
x3=294 / 39=7.54
Проверка.
-2•4.05+-1•6.13+6•7.54=31
1•4.05+-1•6.13+2•7.54=13
2•4.05+4•6.13+-3•7.54=10

Пример №9. Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

-216
1-12
24-3
Вектор B:
BT=(31,13,10)

Посмотреть всё решение

XT=(5.21,4.51,6.15)
x1=276 / 53=5.21
x2=239 / 53=4.51
x3=326 / 53=6.15
Проверка.
-2•5.21+1•4.51+6•6.15=31
1•5.21+-1•4.51+2•6.15=13
2•5.21+4•4.51+-3•6.15=10

Пример №10. Решение матричных уравнений.
Обозначим:

A =
23
1-3
B =
09
30
Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 2*(-3) - 1*3 = -9
Определитель матрицы А равен detA=-9
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
21
3-3
Алгебраические дополнения
A11 = (-1)1+1·-3 = -3; A12 = (-1)1+2·3 = -3; A21 = (-1)2+1·1 = -1; A22 = (-1)2+2·2 = 2;
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/-9
-3-3
-12
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
X =
09
30
· 1/-9
-3-3
-12
=
1-2
11
Ответ:
X =
1-2
11