Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора вычисляются неизвестные {x1, x2, ..., xn} в системе уравнений. Решение осуществляется методом обратной матрицы. При этом:
вычисляется определитель матрицы A;
через алгебраические дополнения находится обратная матрица A-1;
осуществляется создание шаблона решения в Excel;
Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word.
Инструкция. Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B.
Напомним, что решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел {x1, x2, ..., xn}, подстановка которых в эту систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
Система линейных алгебраических уравнений обычно записывается как (для 3-х переменных):
Вычисляется определитель матрицы A. Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A-1.
Вектор решения X={x1, x2, ..., xn} получается умножением обратной матрицы на вектор результата B.
Пример №1. Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:
2
3
1
-2
1
0
1
2
-2
Вектор B: BT = (3,-2,-1)
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆ = 2•(1•(-2)-2•0)-(-2•(3•(-2)-2•1))+1•(3•0-1•1) = -21 Итак, определитель -21 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица
Пример №3. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.
Решение:xls
Пример №4. Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.
Решение:xls
Пример №5. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.
Методические рекомендации. После решения методом Крамера, найдите кнопку "Решение методом обратной матрицы для исходных данных". Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется.
Решение. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
-1
3
0
3
-2
1
2
1
-1
Вектор B: BT=(4,-3,-3) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=-1•(-2•(-1)-1•1)-3•(3•(-1)-1•0)+2•(3•1-(-2•0))=14 Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А:
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Тогда:
A=1/∆
A11
A21
A31
A12
A22
A32
A13
A23
A33
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица
Пример №6. Решить неоднородную систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
Запишем матрицу в виде:
4
1
-1
2
0
-2
0
3
1
Главный определитель ∆=4•(0•1-3•(-2))-2•(1•1-3•(-1))+0•(1•(-2)-0•(-1))=16 Транспонированная матрица
AT=
4
2
0
1
0
3
-1
-2
1
Алгебраические дополнения.
A1,1=(-1)1+1
0
3
-2
1
∆1,1=(0•1-(-2•3))=6
A1,2=(-1)1+2
1
3
-1
1
∆1,2=-(1•1-(-1•3))=-4
A1,3=(-1)1+3
1
0
-1
-2
∆1,3=(1•(-2)-(-1•0))=-2
A2,1=(-1)2+1
2
0
-2
1
∆2,1=-(2•1-(-2•0))=-2
A2,2=(-1)2+2
4
0
-1
1
∆2,2=(4•1-(-1•0))=4
A2,3=(-1)2+3
4
2
-1
-2
∆2,3=-(4•(-2)-(-1•2))=6
A3,1=(-1)3+1
2
0
0
3
∆3,1=(2•3-0•0)=6
A3,2=(-1)3+2
4
0
1
3
∆3,2=-(4•3-1•0)=-12
A3,3=(-1)3+3
4
2
1
0
∆3,3=(4•0-1•2)=-2 Обратная матрица
A-1=1/16
6
-4
-2
-2
4
6
6
-12
-2
A-1=
0,38
-0,25
-0,13
-0,13
0,25
0,38
0,38
-0,75
-0,13
Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
E=A*A-1=
4
1
-1
2
0
-2
0
3
1
1/16
6
-4
-2
-2
4
6
6
-12
-2
E=A*A-1=
(4•6)+(1•(-2))+(-1•6)
(4•(-4))+(1•4)+(-1•(-12))
(4•(-2))+(1•6)+(-1•(-2))
(2•6)+(0•(-2))+(-2•6)
(2•(-4))+(0•4)+(-2•(-12))
(2•(-2))+(0•6)+(-2•(-2))
(0•6)+(3•(-2))+(1•6)
(0•(-4))+(3•4)+(1•(-12))
(0•(-2))+(3•6)+(1•(-2))
=1/16
16
0
0
0
16
0
0
0
16
A*A-1=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Пример №7. Решение матричных уравнений. Обозначим:
A =
3
0
5
2
1
4
-1
3
0
B =
2
-1
3
1
-1
8
1
0
-4
Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B. Вычислим определитель матрицы А: ∆ = 3*(1*0 - 3*4) - 2*(0*0 - 3*5) + -1*(0*4 - 1*5) = -1 Определитель матрицы А равен detA=-1 Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1 Найдем обратную матрицу A-1. Транспонированная матрица AT.
AT =
3
2
-1
0
1
3
5
4
0
Алгебраические дополнения
A1,1 = (-1)1+1
1
3
4
0
∆1,1 = (1*0 - 4*3) = -12
A1,2 = (-1)1+2
0
3
5
0
∆1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15
A1,3 = (-1)1+3
0
1
5
4
∆1,3 = (0*4 - 5*1) = -5
A2,1 = (-1)2+1
2
-1
4
0
∆2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4
A2,2 = (-1)2+2
3
-1
5
0
∆2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5
A2,3 = (-1)2+3
3
2
5
4
∆2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2
A3,1 = (-1)3+1
2
-1
1
3
∆3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
A3,2 = (-1)3+2
3
-1
0
3
∆3,2 = -(3*3 - 0*(-1)) = -9
A3,3 = (-1)3+3
3
2
0
1
∆3,3 = (3*1 - 0*2) = 3 Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/-1
-12
15
-5
-4
5
-2
7
-9
3
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
X =
2
-1
3
1
-1
8
1
0
-4
· 1/-1
-12
15
-5
-4
5
-2
7
-9
3
=
-1
2
-1
-48
62
-21
40
-51
17
Ответ:
X =
-1
2
-1
-48
62
-21
40
-51
17
Пример №8. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Пример №10. Решение матричных уравнений. Обозначим:
A =
2
3
1
-3
B =
0
9
3
0
Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B. Вычислим определитель матрицы А: ∆ = 2*(-3) - 1*3 = -9 Определитель матрицы А равен detA=-9 Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1 Найдем обратную матрицу A-1. Транспонированная матрица AT.
РБК Тренды изучили прогнозы российских и зарубежных футурологов, и составили список самых востребованных профессий в ближайшие 30 лет. Это профессии из 19 отраслей: от медицины и транспорта до культуры и космоса
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus. Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Поиск
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus. Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
