Гипербола
Гипербола - геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от нее до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.
Элементы гиперболы:
A1A2=2a - действительная ось
B1B2=2b - мнимая ось
A1 ,A2 - вершины
F1(c ; 0), F2(-c ; 0) - фокусы
F1F2=2c - фокальное расстояние (фокусное расстояние)
c2=a2+b2
- асимптоты
- эксцентриситет (c > a). Его можно рассматривать, как числовую характеристику величины раствора угла между асимптотами.
r1=±(εx-a), r1=±(εx+a), - фокальные радиусы (верхний знак соответствует правой, нижний – левой ветви)
- директрисы
Геометрический смысл мнимой оси показан на рисунке пунктирной линией (расстояние между асимптотами).
Каноническое уравнение гиперболы (координатные оси совпадают с осями гиперболы):
Параметрические уравнения:
Свойства равносторонней гиперболы
Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2a. Если действительная и мнимая оси равны (a=b), то гипербола называется равносторонней (или равнобочной). Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен sqrt(2).Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.
Сопряженные гиперболы
Две гиперболы называются сопряженными, если они имеют общий центр и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой осью другой. Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты.Уравнение гиперболы, сопряженной данной:
Действительная ось этой гиперболы равна мнимой оси другой.
см. Кривые второго порядка (Эллипс, Окружность, Гипербола, Парабола).
