Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Точки разрыва функции

Назначение
Сервис предназначен для определения типа точек разрыва функции.

Выберите количество заданных функций:
Решение сохраняется в формате MS Word

Классификация точек разрыва

Для точек разрыва принята следующая классификация.
  1. Точка разрыва первого рода Если в точке имеются конечные пределы, но они не равны f(x0+0)≠f(x0-0), то x0 называется точкой разрыва первого рода, при этом разрыв называют скачком функции.
  2. Точка разрыва второго рода Точками разрыва второго рода называются точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует.
  3. Устранимая точка разрыва Точка x=x0 называется точкой устранимого разрыва, если f(x0+0)=f(x0-0)≠f(x0). Разрыв «устраним» в том смысле, что достаточно изменить (доопределить или переопределить) функцию и функция станет непрерывной в точке x0.
см. также Непрерывность функции: основные понятия и свойства (разрывы функции и их классификации с подробными примерами).

Пример №1. Установить непрерывность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции f(x) в окрестностях этих точек:
Решение. Найдем точки разрыва функции внутри указанной области.
Находим переделы в точке x=1.


В этой точке функция терпит разрыв. Предел равен ∞, поэтому это точка разрыва II-го рода.
Находим переделы в точке x=0


В этой точке функция терпит разрыв. Пределы существуют, но не равны, поэтому это точка разрыва I-го рода.

Ответ: точка x1=1 является точкой разрыва II-го рода, точка x2=0 является точкой разрыва I-го рода.

Пример №2. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение. Исследуем точку стыка промежутков x=π/2


В этой точке пределы существуют и они равны, поэтому функция в этой точке непрерывна.
Исследуем поведение функции на отрезке (π/2;π).


Пределы существуют, на указанном промежутке функция непрерывна.
Исследуем точку стыка промежутков x=π


В этой точке пределы существуют, но они разные, поэтому это точка разрыва I-го рода.
Исследуем поведение функции на отрезке (pi;∞).


Пределы существуют, на указанном промежутке функция непрерывна.

Ответ: Точка x=π является точкой разрыва I-го рода.

Пример №3. Найти точки разрыва функции и определить их тип.