Первый замечательный предел

Соотношение вида

(или

) называют первым замечательным пределом. Дадим критерий для его распознавания:
1) выражение представляет собой неопределенность вида

,
2)

,
3) аргумента → 0.
Найдем первый замечательный предел среди предложенных:
1)

; 2)

; 3)

;
4)

; 5)

.
Пределы 1, 3 и 4 являются первыми замечательными, так как все три условия, перечисленные в критерии, выполнены. Во втором примере не выполнены первое и третье условия, поэтому это не есть первый замечательный предел (предел находится сразу в результате подстановки предельной точки). Пятый предел можно свести к первому замечательному, домножая числитель и знаменатель на 3.
При решении примеров следует иметь в виду, что предел выражения, содержащего любую тригонометрическую функцию и имеющего неопределенность вида

, всегда можно свести к первому замечательному пределу, однако в этом не всегда есть необходимость.

Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity

Замечательные эквивалентности в пределах

e^x-1 ≈ x, x → 0
ln(1+x) ≈ x, x → 0

Примеры решений

Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:

Пример 2.
.

Пример 3.
.

Пример 4.
.

Пример 5.
.

Пример 6.
.

Пример 7.

.

Пример 8. . Первый замечательный предел применить нельзя, так как аргументы πx и 3πx у синусов не стремятся к нулю при x=1. Поэтому положим x-1=y, тогда при x→1 будет y→0. Тогда
.