Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн
Пределы онлайн Точки разрыва функции Правило Лопиталя
Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Первый замечательный предел

Соотношение вида (или ) называют первым замечательным пределом. Дадим критерий для его распознавания:
1) выражение представляет собой неопределенность вида ,
2) ,
3) аргумента → 0.
Найдем первый замечательный предел среди предложенных:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
Пределы 1, 3 и 4 являются первыми замечательными, так как все три условия, перечисленные в критерии, выполнены. Во втором примере не выполнены первое и третье условия, поэтому это не есть первый замечательный предел (предел находится сразу в результате подстановки предельной точки). Пятый предел можно свести к первому замечательному, домножая числитель и знаменатель на 3.
При решении примеров следует иметь в виду, что предел выражения, содержащего любую тригонометрическую функцию и имеющего неопределенность вида , всегда можно свести к первому замечательному пределу, однако в этом не всегда есть необходимость.
lim
x →

Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак как infinity

Замечательные эквивалентности в пределах

  1. ex-1 ≈ x, x → 0
  2. ln(1+x) ≈ x, x → 0

Примеры решений

Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.

Пример 2.
.

Пример 3.
.

Пример 4.
.

Пример 5.
.

Пример 6.
.

Пример 7.

.

Пример 8. . Первый замечательный предел применить нельзя, так как аргументы πx и 3πx у синусов не стремятся к нулю при x=1. Поэтому положим x-1=y, тогда при x→1 будет y→0. Тогда
.

Пример 9. . Обозначим x-π/6=y, тогда
.