Первый замечательный предел
Соотношение вида![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image001.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image002.gif)
1) выражение представляет собой неопределенность вида
![](images/chart/zero.png)
2)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image004.gif)
3) аргумента → 0.
Найдем первый замечательный предел среди предложенных:
1)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image005.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image006.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image007.gif)
4)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image008.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image009.gif)
Пределы 1, 3 и 4 являются первыми замечательными, так как все три условия, перечисленные в критерии, выполнены. Во втором примере не выполнены первое и третье условия, поэтому это не есть первый замечательный предел (предел находится сразу в результате подстановки предельной точки). Пятый предел можно свести к первому замечательному, домножая числитель и знаменатель на 3.
При решении примеров следует иметь в виду, что предел выражения, содержащего любую тригонометрическую функцию и имеющего неопределенность вида
![](images/chart/zero.png)
Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Замечательные эквивалентности в пределах
ex-1 ≈ x
, x → 0ln(1+x) ≈ x
, x → 0
Примеры решений
Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim2-image010.gif)
Пример 2.
.
Пример 3.
.
Пример 4.
.
Пример 5.
.
Пример 6.
.
Пример 7.
.
Пример 8. . Первый замечательный предел применить нельзя, так как аргументы πx и 3πx у синусов не стремятся к нулю при x=1. Поэтому положим x-1=y, тогда при x→1 будет y→0. Тогда
.
Пример 9. . Обозначим x-π/6=y, тогда
.