Дифференциал функции
dy=f′(x)dx
Полный дифференциал для функции двух переменных:
Полный дифференциал для функции трех переменных равен сумме частных дифференциалов: d f(x,y,z)=dxf(x,y,z)dx+dyf(x,y,z)dy+dzf(x,y,z)dz
![](images/chart/differential1.png)
cos2(2x+π)
≡ (cos(2*x+pi))^2
![](images/chart/differential2.png)
Точки разрыва функции
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/continuity-image020.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/continuity-image021.gif)
Решение пределов:
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
![Алгоритм исследования построения графика функции Алгоритм исследования построения графика функции](https://www.semestr.ru/images/math/lp/g1_image015.jpg)
Экстремум функции двух переменных
Вычисление интегралов
см. также Вычисление приближенно с помощью дифференциала
Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x0).
Пусть f(x) дифференцируема в точке x0 и f '(x0)≠0, тогда ∆y=f’(x0)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x0)∆x.
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/diff_image003.gif)
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)
Пример. Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4tg2x
Решение:
дифференциал:
б)
Решение:
дифференциал:
в) y=arcsin2(lnx)
Решение:
дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:
Пример. Для функции y=x3 найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x)3 – x3 = x3 + 3x2∆x +3x∆x2 + ∆x3 – x3 = 3x2∆x+3x∆x2+∆x3; dy=3x2∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x2 + ∆x3.