Дифференциал функции

dy=f′(x)dx

Как видим, для нахождения дифференциала нужно умножить производную на dx. Это позволяет из таблицы формул для производных сразу записать соответствующую таблицу для дифференциалов.

Полный дифференциал для функции двух переменных: Дифференциал функции

Полный дифференциал для функции трех переменных равен сумме частных дифференциалов: d f(x,y,z)=d_xf(x,y,z)dx+d_yf(x,y,z)dy+d_zf(x,y,z)dz

Примеры
$\frac{x^2}{x+2}$ ≡ x^2/(x+2)
cos²(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
$x+\sqrt[3]{(x-1)^2}$ ≡ x+(x-1)^(2/3)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Решение пределов:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления
$Алгоритм исследования построения графика функции$
Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

см. также Вычисление приближенно с помощью дифференциала, Определение дифференциала функции

Пример. Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4^tg2^x
Решение:
$y'=4^{tg(2x)}\cdot \ln(4)\cdot \frac{1}{\cos^{2}{2x}}\cdot 2 = 4^{tg(2x)}\cdot \frac{2\cdot \ln(4)}{\cos^{2}{2x}}$
дифференциал: $dy=4^{tg(2x)}\cdot \frac{2\cdot \ln(4)}{\cos^{2}{2x}}\cdot dx$
б) $y=\frac{\ln(x)+x^{2}}{x}+e^{-x}$
Решение:
$y'=\frac{(\frac{1}{x}+2x)\cdot x-(\ln(x)+x^{2})}{x^{2}}+(-1)\cdot e^{-x}=\frac{1+2x^{2}-\ln(x)-x^{2}}{x^{2}}=\frac{1+x^{2}-\ln(x)}{x^{2}}-e^{-x}$
дифференциал: $dy=\left(\frac{1+x^{2}-\ln(x)}{x^{2}}-e^{-x}\right)dx$
в) y=arcsin²(lnx)
Решение:
$y'=2\arcsin(\ln(x))\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\ln(x)^{2}}}\cdot\frac{1}{x}$
дифференциал: $dy=2\arcsin(\ln(x))\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\ln(x)^{2}}}\cdot\frac{1}{x}dx$
г) $y=\cos{\frac{x-1}{x+3}}-\sqrt[3]{7x}$
Решение:
$y'=-\sin{\frac{x-1}{x+3}}\cdot\frac{x+3-(x-1)}{(x+3)^{2}}-\sqrt[3]{7}\cdot\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}$ = $-\sin{\frac{x-1}{x+3}}\cdot\frac{4}{(x+3)^{2}}-\sqrt[3]{7}\cdot\frac{1}{3}\cdot\sqrt[3]{x^{2}}$
дифференциал: $dy=-\left(\sin{\frac{x-1}{x+3}}\cdot\frac{4}{(x+3)^{2}}+\frac{\sqrt[3]{7}}{3}\cdot\sqrt[3]{x^{2}}\right)dx$

Новые калькуляторы

Дифференциал функции