Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Вычисление приближенно с помощью дифференциала

С одной стороны, вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения, с другой стороны, dy≈∆y и допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения ∆x. Эти обстоятельства позволяют во многих случаях заменять ∆y величиной dy. Из приближенного равенства dy≈∆y, учитывая, что ∆y = f(x) – f(x0), а dy=f’(x0)(x-x0), получим f(x) ≈ f(x0) + f’(x0)(x – x0), где x-x0 = ∆x.
Пример№1. Вычислить .
Решение. Взяв функцию , имеем: . Полагая x0=16 (выбираем сами, чтобы корень извлекался), ∆x = 0,02, получим .

Пример №2. Вычислить значение функции f(x) = ex в точке x=0.1.
Решение. В качестве x0 возьмем число 0, то есть x0=0, тогда ∆x=x-x0 =0.1 и e0.1≈e0 + e00.1 = 1+0.1 = 1.1. По таблице e0.1≈1.1052. Ошибка получилась незначительная.
Отметим еще одно важное свойство дифференциала. Формула для нахождения дифференциала dy=f’(x)dx верна как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – функция от новой переменной t. Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности его формы. Например, для функции y=tg(x) дифференциал запишется в виде независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией. В случае, если x – функция и конкретно задана, например x=t2, то вычисление dy можно продолжить, для чего найдем dx=2tdt и подставим в ранее полученное выражение для dy:
.
Если вместо формулы (2) воспользовались бы неинвариантной формулой (1), то в случае, когда x – функция, мы не могли бы подобным образом продолжить вычисление dy, так как ∆x, вообще говоря, не совпадает с dx.

Пример №3
Извлечь квадратный корень из 3654.
Решение. Надо найти значение функции при x=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x=3600. Формула (1) при a=3600, h=54 дает . Здесь все знаки верны.

Пример №4. Найти 102,1.
Решение. Полагаем f(x)=10x , так что . Формула (1) при a=2, h=0,1 дат:
.
Этот результат грубоват (с точностью до четвертой значащей цифры 102,1=125,9).
Если таким же образом вычислить 102,01 (теперь h=0,01), получим 102,3. Здесь все знаки верны.

Пример №4. Найти без таблиц tg 46о.
Решение. Полагаем f(x)=tg x, a=45о, h=1о=0,0175 радиана; тогда имеем: . Значит, tg 45о=1+2·0,0175=1,0350.
Неверен только последний знак; из таблиц имеем tg 46o=1, 0355.

Полезно заметить следующие приближенные формулы (a-малая величина):
, ; (2)
, ; (3)
, ; (4)
, ; (5)
, ; (6)
Формулы (2)-(6) являются частными случаями формулы (1+a)n≈1+na; последняя получается из (1), если положить f(x)=xn, a=1,h=a.
ln(1+a)≈a, ln(1-a)≈-a; (7)
ea≈1+a, ; (8)
sin a≈a, , tg a≈a; (9)