Второй замечательный предел и его следствия
Предел последовательности
обозначается буквой e: 
(1)
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2.718. Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают ln(x) (ln(x)=logex).
Формула (1) выполняется и для функций
(2)
Предел (2) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:
1) должна быть неопределенность вида 1∞,
2) 1+бесконечно малая, или короче: 1+б.м.,
3)
, причем в показателе степени стоит не произвольная бесконечно большая, а величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.
Так, среди пределов
, 
, 
, 
только второй и третий равны e.
Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Типовые замены в пределах
cos(π x) ≈ (-1)x, x → ∞sin(π x) ≈ (-1)x, x → ∞cos(x) ≈ [-1;1], x → ∞sin(x) ≈ [-1;1], x → ∞cos2(x) ≈ [0;1], x → ∞sin2(x) ≈ [0;1], x → ∞
Примеры решений
Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
Пример 4.
.
Пример 5.
.
Пример 6.
.
Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: 
, тогда
.
Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы (эквивалентные функции):
, в частности 
.
, если a=e, то 
.
.
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.
, в частности .
, если a=e, то .
.
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.
Пример 7. 
. (Здесь 
).
Пример 8. 
.
Пример 9.
.
Пример 10.
.
Пример 11. 
.
Пример 12.
.
