Второй замечательный предел и его следствия

• Ввод данных
• Решение
• Инструкция

lim x→

Вид предела▼

...load...

Действия

• Загрузить предыдущие

Здесь будет отображаться решение.

Например, найти предел запишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем (нажимаем)  ∞ .
Для наглядности можно отдельно заполнить числитель x^3 и знаменатель функции exp(cos(x)). Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Некоторые виды записи пределов

	sqrt(6-x)/(x^2-9)
	sqrt(6-x)/(6+2*x)^(1/3)
	log(1-tan(x),5)/sin(x*pi)
	(x^2+2*x-2/3)/(x^3+x)
	((3-3*x)/(4-3*x))^(2*x+1)

Видеоинструкция

Предел последовательности обозначается буквой e: (1)
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2.718. Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают ln(x) (ln(x)=log_ex).
Формула (1) выполняется и для функций
(2)
Предел (2) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:
1) должна быть неопределенность вида 1^∞,
2) 1+бесконечно малая, или короче: 1+б.м.,
3) , причем в показателе степени стоит не произвольная бесконечно большая, а величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.
Так, среди пределов , , , только второй и третий равны e.

Типовые замены в пределах

1. cos(π x) ≈ (-1)x, x → ∞
2. sin(π x) ≈ (-1)x, x → ∞
3. cos(x) ≈ [-1;1], x → ∞
4. sin(x) ≈ [-1;1], x → ∞
5. cos2(x) ≈ [0;1], x → ∞
6. sin2(x) ≈ [0;1], x → ∞

Примеры решений

Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.

Пример 2.
.

Пример 3.
.

Пример 4.
.

Пример 5.
.

Пример 6.

.
Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: , тогда
.

Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы (эквивалентные функции):
, в частности .
, если a=e, то .
.
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.