Второй замечательный предел и его следствия
Предел последовательности![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image001.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image002.gif)
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2.718. Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают ln(x) (ln(x)=logex).
Формула (1) выполняется и для функций
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image004.gif)
Предел (2) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:
1) должна быть неопределенность вида 1∞,
2) 1+бесконечно малая, или короче: 1+б.м.,
3)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image005.gif)
Так, среди пределов
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image006.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image007.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image008.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image009.gif)
Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Типовые замены в пределах
cos(π x) ≈ (-1)x
, x → ∞sin(π x) ≈ (-1)x
, x → ∞cos(x) ≈ [-1;1]
, x → ∞sin(x) ≈ [-1;1]
, x → ∞cos2(x) ≈ [0;1]
, x → ∞sin2(x) ≈ [0;1]
, x → ∞
Примеры решений
Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image011.gif)
Пример 2.
.
Пример 3.
.
Пример 4.
.
Пример 5.
.
Пример 6.
.
Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: , тогда
.
Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы (эквивалентные функции):
, в частности
.
, если a=e, то
.
.
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image020.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image021.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image022.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image024.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lim1-image025.gif)
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.
Пример 7.
. (Здесь
).
Пример 8. .
Пример 9.
.
Пример 10.
.
Пример 11. .
Пример 12.
.