Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн
Пределы онлайн Точки разрыва функции Правило Лопиталя
Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Второй замечательный предел и его следствия

Предел последовательности обозначается буквой e: (1)
Число e является иррациональным и приблизительно равно 2.718. Это число принято за основание логарифмов, которые называют натуральными логарифмами и обозначают ln(x) (ln(x)=logex).
Формула (1) выполняется и для функций
(2)
Предел (2) называется вторым замечательным пределом. Критерий для его распознавания включает в себя три требования:
1) должна быть неопределенность вида 1,
2) 1+бесконечно малая, или короче: 1+б.м.,
3) , причем в показателе степени стоит не произвольная бесконечно большая, а величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу 1.
Так, среди пределов , , , только второй и третий равны e.
lim
x →

Примечание: число "пи" (π) записывается как pi, знак как infinity

Типовые замены в пределах

  1. cos(x) ≈ (-1)x, x → ∞
  2. sin(x) ≈ (-1)x, x → ∞
  3. cos2(x) ≈ 1, x → ∞

Примеры решений

Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:
.

Пример 2.
.

Пример 3.
.

Пример 4.
.

Пример 5.
.

Пример 6.

.
Единицу можно было бы получить делением многочлена на многочлен: , тогда
.

Следствиями второго замечательного предела являются следующие пределы (эквивалентные функции):
, в частности .
, если a=e, то .
.
С их помощью легко решаются многие задачи на раскрытие неопределенностей.

Пример 7.
. (Здесь ).

Пример 8. .

Пример 9.
.

Пример 10.
.

Пример 11. .

Пример 12.


.