Деление многочленов столбиком
Для любых многочленов f(x) и g(x), g(x) ≠ 0, существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что
f(x)
g(x)
= q(x)+
r(x)
g(x)
Алгоритм деления в столбик применяется в частности при нахождении интегралов.
Пример деления в столбик. Найти частное деления и остаток многочлена:
№1.
| x3 -12x2-42 | x -3 |
| x3 -3x2 | x2 |
| -9x2-42 |
№2.
| x3 -12x2-42 | x -3 |
| x3 -3x2 | x2 -9x |
| -9x2-42 | |
| -9x2 + 27x | |
| -27x -42 |
№3.
| x3 -12x2-42 | x -3 |
| x3 -3x2 | x2 -9x -27 |
| -9x2-42 | |
| -9x2 + 27x | |
| -27x -42 | |
| -27x + 81 | |
| -123 |
Целая часть: x2 -9x -27
Остаток: -123
Таким образом, ответ можно записать как: 
Пример №1. Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x5+3x3-x2+4x+1, Q(x)=2x2-x+1
Пример №2. Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x4+6x3-2x2+x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).
-x3(x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x3(x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x3(x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)
Пример №3. Найти остаток от деления уголком.
Решение. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой
2.
| x6 + 2x5 - x3 + x | x4 - 4x + 2 |
| x6 - 4x3 + 2x2 | x2 |
| 2x5 + 3x3 - 2x2 + x |
| x6 + 2x5 - x3 + x | x4 - 4x + 2 |
| x6 - 4x3 + 2x2 | x2 + 2x |
| 2x5 + 3x3 - 2x2 + x | |
| 2x5 - 8x2 + 4x | |
| 3x3 + 6x2 - 3x |
Целая часть: x + 2
Остаток: 3x2 + 6x - 3
Ответ: 
Пример №4.. Разделить многочлены столбиком.
Решение. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой
2.
| x3 - 2x2 + x + 3 | - 2x - 3 |
| x3 + 3/2x2 | - 1/2x2 |
| - 7/2x2 + x + 3 |
| x3 - 2x2 + x + 3 | - 2x - 3 |
| x3 + 3/2x2 | - 1/2x2 + 7/4x |
| - 7/2x2 + x + 3 | |
| - 7/2x2 - 21/4x | |
| 25/4x + 3 |
| x3 - 2x2 + x + 3 | - 2x - 3 |
| x3 + 3/2x2 | - 1/2x2 + 7/4x - 25/8 |
| - 7/2x2 + x + 3 | |
| - 7/2x2 - 21/4x | |
| 25/4x + 3 | |
| 25/4x + 75/8 | |
| - 51/8 |
Целая часть: - 1/2x2 + 7/4x - 25/8
Остаток: - 51/8
Ответ: 