Определитель матрицы ▦ Производная функции dydx График 3D Упростить выражение Графический метод решения задач нелинейного программирования ⇲ …
Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Умножение матриц Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём: Теорема Кронекера-Капелли применяется при исследованиях систем алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы). В результате исследования должна быть записана эквивалентная система алгебраических уравнений с минимальным числом уравнений.
Количество переменных количество строк

Здесь будет отображаться решение.
  1. является ли система совместной;
  2. если система совместна, то определенна или неопределенна (критерий совместности системы определяется по теореме);
  3. если система определенна, то как найти ее единственное решение (используются метод Крамера, метод обратной матрицы или метод Жордана-Гаусса);
  4. если система неопределенна, то как описать множество ее решений.
Результат исследования сохраняется в формате Word и Excel (см. пример решения).

Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг этой системы равен количеству переменных.

Совместная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг этой системы меньше количества переменных.

Пример №1. Исследовать систему алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы) с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Это соответствует системе:
-3x2 + 9x3 = 6
-4x1 + 5x2 + 7x3 - 10x4 = 0
За базисные переменные примем x1 и x2. Тогда свободные x3,x4.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Пример №2.
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (3). Умножим 4-ую строку на (-2). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

3x2 -2x3 – 3x4 = 10
3x1 -x2 -2x3 = 1
Необходимо переменные x3,x4 принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные – x1, x2.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

Пример №3. Дана система линейных уравнений у которой число уравнений равно числу неизвестных. При каком условии эта система имеет единственное решение?
Ответ: Система имеет единственное решение, если ранг этой системы будет равен количеству переменных.