Как найти ранг матрицы

Чтобы найти ранг матрицы необходимо привести ее к треугольному виду, с помощью которого можно будет либо найти определитель, либо миноры матрицы. Ранг определителя или минора отличного от нуля и будет являться рангом всей матрицы.
Пример №1. Исходная матрица имеет размерность 3x4.

3427
4123
68414

Решение будем искать с помощью данного калькулятора. Работаем с первым столбцом. Умножим первую строку на 4, а 2-ую строку на (-3). Добавим 2-ую строку к 1-ой.

013219
4123
68414
Умножим вторую строку на 6, а 3-ую строку на (-4) и сложим. Результат сложения запишем во второй строке.
013219
0-26-4-38
68414
Первую строку, умноженную на 2 складываем со второй строкой.
0000
0-26-4-38
68414
Первая строка состоит полностью из нулей, т.е. является линейной комбинацией других строк. Ее можно вычеркнуть:
0-26-4-38
68414
Количество строк у этой матрицы (row=2) не равно количеству столбцов (col=4), поэтому определитель найти не получиться. Если рассмотреть все миноры сокращенной матрицы, то все они будут отличны от 0. Количество строк у этой матрицы равно двум, поэтому ранг исходной матрицы равен r=2.

Пример №2. Рассмотрим пример для матрицы размерностью 3x3.

781
-228
011
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
011
-228
781
Умножим 2-ую строку на 7. Умножим 3-ую строку на 2. Добавим 3-ую строку к 2-ой.
011
03058
781
Умножим первую строку на (30) и вычтем из нее вторую строчку.
00-28
03058
781

Количество строк и столбцов матрицы равны, можно найти ее определитель: detA = (-28)·30·7 / 210 = -28 > 0
где z = 7·30 = 210 - произведение чисел, на которые умножали строки матрицы при приведении к треугольному виду (см. как найти определитель методом Гаусса).

Определитель ≠ 0, поэтому ранг матрицы равен количеству строк, т.е. r=3.

Перейти к онлайн решению своей задачи