Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Калькуляторы по этой теме
Представлены наиболее популярные калькуляторы по дисциплине Высшая математика и Линейная алгебра.
Подробнее
Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Обратная матрица Определитель матрицы Умножение матриц Алгебраические дополнения Скалярное произведение Метод обратной матрицы Матричные уравнения

Алгебраические дополнения

Определение. Если в определителе n-го порядка вычеркнуть i строку и j столбец, то оставшийся определитель (n-1)-го порядка называется минором данного элемента aij и обозначается Mij. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Главным минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении ее k строк и k столбцов с одинаковыми номерами.
Угловым минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении ее первых k строк и первых k столбцов.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя D называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j.
Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается через Aij. Следовательно, Aij = (-1)i+jMij.

Размерность матрицы

Пример. Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента a21 (выделен пунктиром).
Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент a21, получим . Тогда A21 = (-1)1+2M21 = -14.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
D=ai01·Ai01+ai02·Ai02+ ... + ai0n·Ai0n  (*)
где i0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i0.
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению одного определителя (n-1)-го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают (n-1) нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

Пример. Найти алгебраические дополнения для матрицы:

Решение находим с помощью калькулятора. Найдем главный определитель.
∆ = 0.73 ∙(0.72  ∙0.92 -(-0.17 ∙(-0.15  )))-(-0.19  ∙(-0.07  ∙0.92 -(-0.17 ∙(-0.12  ))))+(-0.12 ∙(-0.07  ∙(-0.15 )-0.72  ∙(-0.12  ))) = 0.437197
Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

1,1 = (0.72  ∙0.92 -(-0.15  ∙(-0.17 ))) = 0.6369

1,2 = -(-0.07  ∙0.92 -(-0.12  ∙(-0.17 ))) = 0.0848

1,3 = (-0.07  ∙(-0.15  )-(-0.12  ∙0.72  )) = 0.0969

2,1 = -(-0.19  ∙0.92 -(-0.15  ∙(-0.12 ))) = 0.1928

2,2 = (0.73 ∙0.92 -(-0.12  ∙(-0.12 ))) = 0.6572

2,3 = -(0.73 ∙(-0.15  )-(-0.12  ∙(-0.19  ))) = 0.1323

3,1 = (-0.19  ∙(-0.17 )-0.72  ∙(-0.12 )) = 0.1187

3,2 = -(0.73 ∙(-0.17 )-(-0.07  ∙(-0.12 ))) = 0.1325

3,3 = (0.73 ∙0.72  -(-0.07  ∙(-0.19  ))) = 0.5123
Обратная матрица

Пример 2:xls
Пример 3