Нахождение обратной матрицы

Матрица А^-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А^-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса. С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения, транспонированную матрицу A^T, союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления.

Инструкция. Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A.

Скачать пример оформления

см. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы A. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
Нахождение транспонированной матрицы A^T.
Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C.

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы A. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
Определение алгебраических дополнений.
Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1. Запишем матрицу в виде:

-1	2	-2
2	-1	5
3	-2	4

Обратная матрица существует, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем определитель матрицы:
∆ = -1·(-1·4-(-2·5))-2·(2·4-(-2·(-2)))+3·(2·5-(-1·(-2))) = 10. Определитель равен 10 и не равен нулю. Продолжаем решение.
Найдем транспонированную матрицу:

A^T =

-1	2	3
2	-1	-2
-2	5	4

Алгебраические дополнения.

A_1,1 = (-1)¹⁺¹

-1	-2
5	4

∆_1,1 = (-1·4-5·(-2)) = 6

A_1,2 = (-1)¹⁺²

2	-2
-2	4

∆_1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4

A_1,3 = (-1)¹⁺³

2	-1
-2	5

∆_1,3 = (2·5-(-2·(-1))) = 8

A_2,1 = (-1)²⁺¹

2	3
5	4

∆_2,1 = -(2·4-5·3) = 7

A_2,2 = (-1)²⁺²

-1	3
-2	4

∆_2,2 = (-1·4-(-2·3)) = 2

A_2,3 = (-1)²⁺³

-1	2
-2	5

∆_2,3 = -(-1·5-(-2·2)) = 1

A_3,1 = (-1)³⁺¹

2	3
-1	-2

∆_3,1 = (2·(-2)-(-1·3)) = -1

A_3,2 = (-1)³⁺²

-1	3
2	-2

∆_3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A_3,3 = (-1)³⁺³

-1	2
2	-1

∆_3,3 = (-1·(-1)-2·2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:

A^-1 = ¹/₁₀

6	-4	8
7	2	1
-1	4	-3

A^-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

Находим определитель данной квадратной матрицы A.
Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A.
Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A.

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай: Обратной, по отношению к единичной матрице E, является единичная матрица E.

Пример №2. Найти матрицу, обратную матрице .
Решение.