Пример нахождения обратной матрицы

Рассмотрим на примерах практическое применение обратной матрицы.

Пример №1. В задачах дана невырожденная матрица A. Найти обратную матрицу A^-1 и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что A*A^-1 = E, где E – единичная матрица.

Решение находим через калькулятор.
Находим определитель матрицы A.
Минор для (1,1):
= 1∙(1∙1-0∙2)-0∙(2∙1-0∙(-3))+0∙(2∙2-1∙(-3))= 1
Минор для (2,1):
= 3∙(1∙1-0∙2)-0∙(-5∙1-0∙7)+0∙(-5∙2-1∙7) = 3
Минор для (3,1):
 = 3∙(2∙1-0∙(-3))-1∙(-5∙1-0∙7)+0∙(-5∙(-3)-2∙7)= 11
Минор для (4,1):
 = 3∙(2∙2-1∙(-3))-1∙(-5∙2-1∙7)+0∙(-5∙(-3)-2∙7)= 38
Определитель равен: ∆ = 1∙1-0∙3+0∙11-0∙38 = 1, следовательно, матрица является невырожденной и можно искать обратную матрицу.

Транспонированная матрица

Найдем алгебраические дополнения:

∆_1,1 = 1∙(1∙1-2∙0)-2∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-1∙0))= 1

∆_1,2 = -3∙(1∙1-2∙0)-(-5∙(0∙1-2∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= -3

∆_1,3 = 3∙(2∙1-(-3∙0))-(-5∙(1∙1-(-3∙0)))+7∙(1∙0-2∙0)= 11

∆_1,4 = -3∙(2∙2-(-3∙1))-(-5∙(1∙2-(-3∙0)))+7∙(1∙1-2∙0)= -38

∆_2,1 = -0∙(1∙1-2∙0)-2∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-1∙0))= 0

∆_2,2 = 1∙(1∙1-2∙0)-(-5∙(0∙1-2∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= 1

∆_2,3 = -1∙(2∙1-(-3∙0))-(-5∙(0∙1-(-3∙0)))+7∙(0∙0-2∙0)= -2

∆_2,4 = 1∙(2∙2-(-3∙1))-(-5∙(0∙2-(-3∙0)))+7∙(0∙1-2∙0)= 7

∆_3,1 = 0∙(0∙1-2∙0)-1∙(0∙1-2∙0)+(-3∙(0∙0-0∙0))= 0

∆_3,2 = -1∙(0∙1-2∙0)-3∙(0∙1-2∙0)+7∙(0∙0-0∙0)= 0

∆_3,3 = 1∙(1∙1-(-3∙0))-3∙(0∙1-(-3∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= 1

∆_3,4 = -1∙(1∙2-(-3∙0))-3∙(0∙2-(-3∙0))+7∙(0∙0-1∙0)= -2

∆_4,1 = -0∙(0∙0-1∙0)-1∙(0∙0-1∙0)+2∙(0∙0-0∙0)= 0

∆_4,2 = 1∙(0∙0-1∙0)-3∙(0∙0-1∙0)+(-5∙(0∙0-0∙0))= 0

∆_4,3 = -1∙(1∙0-2∙0)-3∙(0∙0-2∙0)+(-5∙(0∙0-1∙0))= 0

∆_4,4 = 1∙(1∙1-2∙0)-3∙(0∙1-2∙0)+(-5∙(0∙0-1∙0))= 1
Обратная матрица

Видеоинструкция
Пример 2:xls

Пример №2. Обратная матрица используется при нахождении величины валовой продукции отрасли X_i: X = (E - A)-1Y при построении межотраслевой баланса.

Пример №3. Использование операции с обратной матрицей в двойственной задаче линейного программирования позволяет определить двойственные оценки.