Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Обратная матрица
Определитель матрицы Умножение матриц Алгебраические дополнения
Скалярное произведение Метод обратной матрицы Матричные уравнения

Решение матричных уравнений

Предварительно рекомендуется изучить основные действия над матрицами.

Даны матричные уравнения

A·X = B, (1)
Y·A = B, (2)
где A и B – заданные матрицы, причем A – невырожденная. Требуется найти матрицы X и Y.
Нельзя ли определить деление матриц?
Вспомним, что в числовой области частное от деления b на a определяется как решение уравнения a∙x=b (или x∙a=b) и существует не всегда. Можно попытаться определить «деление» матриц, рассматривая уравнения (1) и (2), в которых, согласно правилу умножения, матрицы A, B, X, Y не могут иметь произвольную структуру. Так, в первом уравнении матрицы A и B должны иметь одинаковое число строк, а во втором – одинаковое число столбцов. Уже отсюда ясно, что если даже оба эти уравнения однозначно разрешимы (а это далеко не всегда так), то их решения вполне могут быть матрицами не только разными, но и разной структуры. Таким образом, для матриц оказывается невозможным определить деление с привычными свойствами.
Матричные уравнения вида (1) и (2) решаются следующим образом. Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения (1) на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или
X = A-1·B. (3)
Аналогично, умножая справа обе части равенства (2) на A-1, будем иметь: Y·A· A-1 = B· A-1, откуда находим, что
Y = B· A-1. (4)

Пример 1. Решить матричное уравнение .
Решение. Обозначим , . Тогда матричное уравнение запишется в виде A·X = B. Найдем A-1: ; A11 = 4; A21 = -3; A12 = -2; A22 = 1, . Воспользуемся формулой (3): .
Пример 2. Решить матричное уравнение .
Решение. (в силу пропорциональности строк), т.е. матрица A – вырожденная, следовательно уравнение решения не имеет.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение записываем в виде A∙X∙B = C. Умножаем обе части этого равенства слева на A-1 и справа на B-1: A-1∙A∙X∙B∙B-1 = A-1∙C∙B-1. Так как A∙A-1 = B∙B-1 = E и E∙X = X∙E = X, то X = A-1∙C∙B-1.
Находим обратные матрицы , , тогда

.
Проверка.
.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример 6

Классификация решений матричных уравнений

Вариантов записей матричных уравнений может быть достаточно много, однако, все их можно свести к двум видам:
  1. A·X = B
  2. Y·A = B
где A и B – заданные матрицы, причем A – невырожденная. Требуется найти матрицы X и Y. Данные матричные уравнения решаются с помощью онлайн-калькулятора. Далее покажем на примерах, как можно свести все варианты записи матричных выражений к двум классическим.

Перед изучением материала необходимо иметь представление об операциях над матрицами:

Пример 1. Решить матричные уравнения и сделать проверку.

Запишем данное матричное уравнение в матричной форме: A·X - B = 3C. Его можно записать как A·X = 3C + B. Найдем сумму матриц:

3C + B =
-12
2-2
-3-1

Обозначим:
A =
211
34-2
3-24

B =
-12
2-2
-3-1

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 2*(4*4 - (-2)*(-2)) - 3*(1*4 - (-2)*1) + 3*(1*(-2) - 4*1) = -12
Определитель матрицы А равен detA=-12
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
233
14-2
1-24

Алгебраические дополнения
A1,1 = (-1)1+1
4-2
-24

1,1 = (4*4 - (-2)*(-2)) = 12
A1,2 = (-1)1+2
1-2
14

1,2 = -(1*4 - 1*(-2)) = -6
A1,3 = (-1)1+3
14
1-2

1,3 = (1*(-2) - 1*4) = -6
A2,1 = (-1)2+1
33
-24

2,1 = -(3*4 - (-2)*3) = -18
A2,2 = (-1)2+2
23
14

2,2 = (2*4 - 1*3) = 5
A2,3 = (-1)2+3
23
1-2

2,3 = -(2*(-2) - 1*3) = 7
A3,1 = (-1)3+1
33
4-2
3,1 = (3*(-2) - 4*3) = -18
A3,2 = (-1)3+2
23
1-2
3,2 = -(2*(-2) - 1*3) = 7
A3,3 = (-1)3+3
23
14
3,3 = (2*4 - 1*3) = 5
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/12
12-6-6
-1857
-1875
Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B
X= 1/12
12-6-6
-1857
-1875
·
-12
2-2
-3-1
=
1/2-31/2
-7/1245/12
-15/1247/12
Ответ:
X =
1/2-31/2
-7/1245/12
-15/1247/12

Пример 2.

Данное выражение в матричной форме имеет вид: X·A - B = 2C. Преобразуем к виду: X·A = 2C + B или X·A = D, где D = 2C + B

Пример 3.

Пример 4.

Здесь имеем следующий тип матричного уравнения: A - X·B = 2C. Сводим его к типу X·B = A + 2C или X·B = D, где D = A + 2C.

A + 2C =
-51-4

Обозначим:
A =
322
231
113

B =
-51-4

Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 3*(3*3 - 1*1) - 2*(2*3 - 1*2) + 1*(2*1 - 3*2) = 12
Определитель матрицы А равен detA=12
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
321
231
213
Алгебраические дополнения
A1,1 = (-1)1+1
31
13
1,1 = (3*3 - 1*1) = 8
A1,2 = (-1)1+2
21
23
1,2 = -(2*3 - 2*1) = -4
A1,3 = (-1)1+3
23
21
1,3 = (2*1 - 2*3) = -4
A2,1 = (-1)2+1
21
13
2,1 = -(2*3 - 1*1) = -5
A2,2 = (-1)2+2
31
23
2,2 = (3*3 - 2*1) = 7
A2,3 = (-1)2+3
32
21
2,3 = -(3*1 - 2*2) = 1
A3,1 = (-1)3+1
21
31
3,1 = (2*1 - 3*1) = -1
A3,2 = (-1)3+2
31
21
3,2 = -(3*1 - 2*1) = -1
A3,3 = (-1)3+3
32
23
3,3 = (3*3 - 2*2) = 5
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/12
8-4-4
-571
-1-15
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
X =
-51-4
1/12
8-4-4
-571
-1-15
=
-35/1227/121/12
Ответ:
X =
-35/1227/121/12

Пример 2.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №5.Решение матричных уравнений.
Обозначим:

A =
3-1
5-2
B =
56
78
C =
1416
910
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 3*(-2) - 5*(-1) = -1
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1:Умножаем обе части этого равенства слева на A-1 и справа на B-1: A-1·A·X·B·B-1 = A-1·C·B-1. Так как A·A-1 = B·B-1 = E и E·X = X·E = X, то X = A-1·C·B-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
AT =
35
-1-2
Алгебраические дополнения
A11 = (-1)1+1·-2 = -2; A12 = (-1)1+2·-1 = 1; A21 = (-1)2+1·5 = -5; A22 = (-1)2+2·3 = 3;
Обратная матрица A-1.
A-1 = 1/-1
-21
-53
Вычислим определитель матрицы B:
∆ = 5*8 - 7*6 = -2
Определитель матрицы B равен detB=-2
Найдем обратную матрицу B-1.
Транспонированная матрица BT.
BT =
57
68
Алгебраические дополнения:
A11 = (-1)1+1·8 = 8; A12 = (-1)1+2·6 = -6; A21 = (-1)2+1·7 = -7; A22 = (-1)2+2·5 = 5;
Обратная матрица B-1.
B-1 = 1/-2
8-6
-75
Матрицу X ищем по формуле: X = A-1·C·B-1
X = 1/-1
-21
-53
·
1416
910
· 1/-2
8-6
-75
=
12
34
Ответ:
X =
12
34