Биссектриса угла треугольника

Задание. Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
Решение получаем с помощью сервиса Координаты треугольника. 1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj-xi; Y = yj-yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi-координаты точки Аi; xj, yj-координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2-x1; Y = y2-y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
delim{|}{a}{|} = sqrt{X^{2}+Y^{2}}
delim{|}{AB}{|} = sqrt{1^{2}+3^{2}} = sqrt{10} = 3.16
delim{|}{AC}{|} = sqrt{3^{2}+1^{2}} = sqrt{10} = 3.16
delim{|}{BC}{|} = sqrt{2^{2}+2^{2}} = sqrt{8} = 2.83
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
cos gamma  = {a_{1}a_{2}}/{delim{|}{a_{1}}{|} mul delim{|}{a_{2}}{|}}
где a1a2 = X1X2+Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
cos gamma  = {-1 mul (-3)+(-3) mul (-1)}/{sqrt{10} mul sqrt{10}} = 0.6
γ = arccos(0.6) = 53.130
8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
{x-x_{1}}/{x_{2}-x_{1}} = {y-y_{1}}/{y_{2}-y_{1}}
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
{x-2}/{1-2} = {y-1}/{-2-1} или {x-2}/{-1} = {y-1}/{-3}
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
{x-2}/{-1-2} = {y-1}/{0-1} или {x-2}/{-3} = {y-1}/{-1}
или
y = 1/3x+1/3 или 3y -x-1 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
{x-1}/{-1-1} = {y+2}/{0-(-2)}
или
{x-1}/{-2} = {y+2}/{2}
или
y = -x -1 или y+x +1 = 0

Нахождение биссектрисы угла из свойств углов треугольника

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
tg(alpha) = {A_{1} mul B_{2}-A_{2} mul B_{1}}/{A_{1} mul A_{2}+B_{1} mul B_{2}}
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x-1 = 0
tg(A) = {(-3) mul 3-1 mul (-1)}/{(-3) mul 1+(-1) mul 3} = {-8}/{-6} = {4}/{3}
∠A ≈ 53.130
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 270
Тангенс угла наклона AB равен 3/1 (т.к. y = 3x -5). Угол наклона равен 71.570
∠NKA≈ 1800-71.570 = 108.430
∠ANK ≈ 1800-(108.430+26.570) ≈ 450
tg(450) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y-y0 = k(x-x0)
y-1 = 1(x-2) или y=x-1

Нахождение биссектрисы угла из свойств векторов

Найдем биссектрису угла A.
Известно, что диагонали ромба делят углы пополам. Найдем орты векторов AC(-1,-3) и AB(-3,-1). Соответственно и на них, как на сторонах, построим ромб, диагональ которого AK, равную сумме ортов, можно взять в качестве направляющего вектора биссектрисы.
overline{a} = {overline{AB}}/{delim{|}{overline{AB}}{|}} = ({-1}/{sqrt{10}},{-3}/{sqrt{10}})
overline{b} = {overline{AC}}/{delim{|}{overline{AC}}{|}} = ({-3}/{sqrt{10}},{-1}/{sqrt{10}})
overline{AK} = overline{a}+overline{b} = ({-4}/{sqrt{10}},{-4}/{sqrt{10}})
Каноническое уравнение биссектрисы AK примет вид:
{x-2}/{-4/sqrt{10}} = {y-1}/{-4/sqrt{10}} или {x-2}/{-4} = {y-1}/{-4}
y=x-1 или y-x+1=0