Биссектриса угла треугольника
Задание. Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).Решение получаем с помощью сервиса
Координаты треугольника. 1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj-xi; Y = yj-yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi-координаты точки Аi; xj, yj-координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2-x1; Y = y2-y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
![delim{|}{a}{|} = sqrt{X^{2}+Y^{2}} delim{|}{a}{|} = sqrt{X^{2}+Y^{2}}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_992_60ed6226cb62fa18a66350dbc998d6c7.png)
![delim{|}{AB}{|} = sqrt{1^{2}+3^{2}} = sqrt{10} = 3.16 delim{|}{AB}{|} = sqrt{1^{2}+3^{2}} = sqrt{10} = 3.16](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_992_7129616d0c87a80ae04d66bb63d08054.png)
![delim{|}{AC}{|} = sqrt{3^{2}+1^{2}} = sqrt{10} = 3.16 delim{|}{AC}{|} = sqrt{3^{2}+1^{2}} = sqrt{10} = 3.16](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_992_2a8ca6de46c355b84734d42fbf9c704d.png)
![delim{|}{BC}{|} = sqrt{2^{2}+2^{2}} = sqrt{8} = 2.83 delim{|}{BC}{|} = sqrt{2^{2}+2^{2}} = sqrt{8} = 2.83](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_992_bb05ae754f0b4eb8656182dd36060418.png)
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
![cos gamma = {a_{1}a_{2}}/{delim{|}{a_{1}}{|} mul delim{|}{a_{2}}{|}} cos gamma = {a_{1}a_{2}}/{delim{|}{a_{1}}{|} mul delim{|}{a_{2}}{|}}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_969_6c10b1061c8dd74795b2299de2f162b8.png)
где a1a2 = X1X2+Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
![cos gamma = {-1 mul (-3)+(-3) mul (-1)}/{sqrt{10} mul sqrt{10}} = 0.6 cos gamma = {-1 mul (-3)+(-3) mul (-1)}/{sqrt{10} mul sqrt{10}} = 0.6](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_968_c8071bd58a7fb5df14b93d448cee8b22.png)
γ = arccos(0.6) = 53.130
8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
![{x-x_{1}}/{x_{2}-x_{1}} = {y-y_{1}}/{y_{2}-y_{1}} {x-x_{1}}/{x_{2}-x_{1}} = {y-y_{1}}/{y_{2}-y_{1}}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_973_2ce0d1bd960c5c25073024249e50c0f4.png)
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
![{x-2}/{1-2} = {y-1}/{-2-1} {x-2}/{1-2} = {y-1}/{-2-1}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_981_83d4e464764e37d028194d3c8acc035e.png)
![{x-2}/{-1} = {y-1}/{-3} {x-2}/{-1} = {y-1}/{-3}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_981_c06a9ddc86f715181b1e6dd8c13f579a.png)
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
![{x-2}/{-1-2} = {y-1}/{0-1} {x-2}/{-1-2} = {y-1}/{0-1}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_981_ee82cc3156a3fb4c76e0b6a73c083620.png)
![{x-2}/{-3} = {y-1}/{-1} {x-2}/{-3} = {y-1}/{-1}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_981_62249b958f1e74bc866495f25bd922e6.png)
или
y = 1/3x+1/3 или 3y -x-1 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
![{x-1}/{-1-1} = {y+2}/{0-(-2)} {x-1}/{-1-1} = {y+2}/{0-(-2)}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_968_7dcf9f2ad30818b88555a8c667e5a7bd.png)
или
![{x-1}/{-2} = {y+2}/{2} {x-1}/{-2} = {y+2}/{2}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_981_9236e7e937ec9efd4d091e0815ccd007.png)
или
y = -x -1 или y+x +1 = 0
Нахождение биссектрисы угла из свойств углов треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.Воспользуемся формулой:
![tg(alpha) = {A_{1} mul B_{2}-A_{2} mul B_{1}}/{A_{1} mul A_{2}+B_{1} mul B_{2}} tg(alpha) = {A_{1} mul B_{2}-A_{2} mul B_{1}}/{A_{1} mul A_{2}+B_{1} mul B_{2}}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_973_b4dfecdd408926596a4eb34724ecbe8a.png)
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x-1 = 0
![tg(A) = {(-3) mul 3-1 mul (-1)}/{(-3) mul 1+(-1) mul 3} = {-8}/{-6} = {4}/{3} tg(A) = {(-3) mul 3-1 mul (-1)}/{(-3) mul 1+(-1) mul 3} = {-8}/{-6} = {4}/{3}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_968_9ff06b16ab1fe1dc7dae496c9793cfe2.png)
∠A ≈ 53.130
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 270
Тангенс угла наклона AB равен 3/1 (т.к. y = 3x -5). Угол наклона равен 71.570
∠NKA≈ 1800-71.570 = 108.430
∠ANK ≈ 1800-(108.430+26.570) ≈ 450
tg(450) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y-y0 = k(x-x0)
y-1 = 1(x-2) или y=x-1
Нахождение биссектрисы угла из свойств векторов
Найдем биссектрису угла A.
Известно, что диагонали ромба делят углы пополам. Найдем орты векторов AC(-1,-3) и AB(-3,-1). Соответственно и на них, как на сторонах, построим ромб, диагональ которого AK, равную сумме ортов, можно взять в качестве направляющего вектора биссектрисы.
![overline{a} = {overline{AB}}/{delim{|}{overline{AB}}{|}} = ({-1}/{sqrt{10}},{-3}/{sqrt{10}}) overline{a} = {overline{AB}}/{delim{|}{overline{AB}}{|}} = ({-1}/{sqrt{10}},{-3}/{sqrt{10}})](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_956.5_dbbeeebae37af03b83f79ce28ea9c475.png)
![overline{b} = {overline{AC}}/{delim{|}{overline{AC}}{|}} = ({-3}/{sqrt{10}},{-1}/{sqrt{10}}) overline{b} = {overline{AC}}/{delim{|}{overline{AC}}{|}} = ({-3}/{sqrt{10}},{-1}/{sqrt{10}})](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_956.5_9cad4f288c20d33a76cb3c7da31e7350.png)
Каноническое уравнение биссектрисы AK примет вид:
или
y=x-1 или y-x+1=0
![overline{a} = {overline{AB}}/{delim{|}{overline{AB}}{|}} = ({-1}/{sqrt{10}},{-3}/{sqrt{10}}) overline{a} = {overline{AB}}/{delim{|}{overline{AB}}{|}} = ({-1}/{sqrt{10}},{-3}/{sqrt{10}})](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_956.5_dbbeeebae37af03b83f79ce28ea9c475.png)
![overline{b} = {overline{AC}}/{delim{|}{overline{AC}}{|}} = ({-3}/{sqrt{10}},{-1}/{sqrt{10}}) overline{b} = {overline{AC}}/{delim{|}{overline{AC}}{|}} = ({-3}/{sqrt{10}},{-1}/{sqrt{10}})](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_956.5_9cad4f288c20d33a76cb3c7da31e7350.png)
![overline{AK} = overline{a}+overline{b} = ({-4}/{sqrt{10}},{-4}/{sqrt{10}}) overline{AK} = overline{a}+overline{b} = ({-4}/{sqrt{10}},{-4}/{sqrt{10}})](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_956.5_10d5074b02f3e96f6a975dafc67c2404.png)
Каноническое уравнение биссектрисы AK примет вид:
![{x-2}/{-4/sqrt{10}} = {y-1}/{-4/sqrt{10}} {x-2}/{-4/sqrt{10}} = {y-1}/{-4/sqrt{10}}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_947_1868b36ed136a013edfad9e126ad9c1d.png)
![{x-2}/{-4} = {y-1}/{-4} {x-2}/{-4} = {y-1}/{-4}](https://www.semestr.ru/images/math/line/math_981_e9d7a94dbe0e3f26d6128ba2707a09a7.png)
y=x-1 или y-x+1=0