Биссектриса угла треугольника

Задание. Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
Решение получаем с помощью сервиса Координаты треугольника. 1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = x_j-x_i; Y = y_j-y_i
здесь X,Y координаты вектора; x_i, y_i-координаты точки А_i; x_j, y_j-координаты точки А_j
Например, для вектора AB
X = x₂-x₁; Y = y₂-y₁
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
$delim{|}{a}{|} = sqrt{X^{2}+Y^{2}}$
$delim{|}{AB}{|} = sqrt{1^{2}+3^{2}} = sqrt{10} = 3.16$
$delim{|}{AC}{|} = sqrt{3^{2}+1^{2}} = sqrt{10} = 3.16$
$delim{|}{BC}{|} = sqrt{2^{2}+2^{2}} = sqrt{8} = 2.83$
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a₁(X₁;Y₁), a₂(X₂;Y₂) можно найти по формуле:
$cos gamma = {a_{1}a_{2}}/{delim{|}{a_{1}}{|} mul delim{|}{a_{2}}{|}}$
где a₁a₂ = X₁X₂+Y₁Y₂
Найдем угол между сторонами AB и AC
$cos gamma = {-1 mul (-3)+(-3) mul (-1)}/{sqrt{10} mul sqrt{10}} = 0.6$
γ = arccos(0.6) = 53.13⁰
8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:
${x-x_{1}}/{x_{2}-x_{1}} = {y-y_{1}}/{y_{2}-y_{1}}$
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
${x-2}/{1-2} = {y-1}/{-2-1}$ или ${x-2}/{-1} = {y-1}/{-3}$
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
${x-2}/{-1-2} = {y-1}/{0-1}$ или ${x-2}/{-3} = {y-1}/{-1}$
или
y = ¹/₃x+¹/₃ или 3y -x-1 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
${x-1}/{-1-1} = {y+2}/{0-(-2)}$
или
${x-1}/{-2} = {y+2}/{2}$
или
y = -x -1 или y+x +1 = 0

Нахождение биссектрисы угла из свойств углов треугольника

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
$tg(alpha) = {A_{1} mul B_{2}-A_{2} mul B_{1}}/{A_{1} mul A_{2}+B_{1} mul B_{2}}$
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x-1 = 0
$tg(A) = {(-3) mul 3-1 mul (-1)}/{(-3) mul 1+(-1) mul 3} = {-8}/{-6} = {4}/{3}$
∠A ≈ 53.13⁰
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 27⁰
Тангенс угла наклона AB равен 3/1 (т.к. y = 3x -5). Угол наклона равен 71.57⁰
∠NKA≈ 180⁰-71.57⁰ = 108.43⁰
∠ANK ≈ 180⁰-(108.43⁰+26.57⁰) ≈ 45⁰
tg(45⁰) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y-y₀ = k(x-x₀)
y-1 = 1(x-2) или y=x-1

Нахождение биссектрисы угла из свойств векторов

Найдем биссектрису угла A.

Решение
Видео решение

Известно, что диагонали ромба делят углы пополам. Найдем орты векторов AC(-1,-3) и AB(-3,-1). Соответственно и на них, как на сторонах, построим ромб, диагональ которого AK, равную сумме ортов, можно взять в качестве направляющего вектора биссектрисы.
$overline{a} = {overline{AB}}/{delim{|}{overline{AB}}{|}} = ({-1}/{sqrt{10}},{-3}/{sqrt{10}})$
$overline{b} = {overline{AC}}/{delim{|}{overline{AC}}{|}} = ({-3}/{sqrt{10}},{-1}/{sqrt{10}})$
$overline{AK} = overline{a}+overline{b} = ({-4}/{sqrt{10}},{-4}/{sqrt{10}})$
Каноническое уравнение биссектрисы AK примет вид:
${x-2}/{-4/sqrt{10}} = {y-1}/{-4/sqrt{10}}$ или ${x-2}/{-4} = {y-1}/{-4}$
y=x-1 или y-x+1=0

Биссектриса угла треугольника

Нахождение биссектрисы угла из свойств углов треугольника

Нахождение биссектрисы угла из свойств векторов

Правила ввода данных

Поиск

Процесс

Сообщение