Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Дискриминант Интегралы онлайн Пределы онлайн
Производная онлайн Ряд Тейлора Решение уравнений
Метод матриц Обратная матрица Умножение матриц

Биссектриса угла треугольника

Задание. Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
Решение получаем с помощью сервиса Координаты треугольника. 1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
delim{|}{a}{|} = sqrt{X^{2} + Y^{2}}
delim{|}{AB}{|} = sqrt{1^{2} + 3^{2}} = sqrt{10} = 3.16
delim{|}{AC}{|} = sqrt{3^{2} + 1^{2}} = sqrt{10} = 3.16
delim{|}{BC}{|} = sqrt{2^{2} + 2^{2}} = sqrt{8} = 2.83
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
cos gamma  = {a_{1}a_{2}}/{delim{|}{a_{1}}{|} mul delim{|}{a_{2}}{|}}
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
cos gamma  = {-1 mul (-3) + (-3) mul (-1)}/{sqrt{10} mul sqrt{10}} = 0.6
γ = arccos(0.6) = 53.130
8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
{x - x_{1}}/{x_{2} - x_{1}} = {y - y_{1}}/{y_{2} - y_{1}}
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
{x - 2}/{1 - 2} = {y - 1}/{-2 - 1}
или
{x - 2}/{-1} = {y - 1}/{-3}
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
{x - 2}/{-1 - 2} = {y - 1}/{0 - 1}
или
{x - 2}/{-3} = {y - 1}/{-1}
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
{x - 1}/{-1 - 1} = {y + 2}/{0 - (-2)}
или
{x - 1}/{-2} = {y + 2}/{2}
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
10) Уравнение биссектрисы треугольника

Нахождение биссектрисы угла из свойств углов треугольника

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
tg(alpha) = {A_{1} mul B_{2} - A_{2} mul B_{1}}/{A_{1} mul A_{2} + B_{1} mul B_{2}}
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0
tg(A) = {(-3) mul 3 - 1 mul (-1)}/{(-3) mul 1 + (-1) mul 3} = {-8}/{-6} = {4}/{3}
∟ A ≈ 53.130
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 270
Тангенс угла наклона AB равен 3/1 (т.к. y = 3x -5). Угол наклона равен 71.570
∟ NKA≈ 1800 - 71.570 = 108.430
∟ ANK ≈ 1800 - (108.430 + 26.570) ≈ 450
tg(450) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y - y0 = k(x - x0)
y - 1 = 1(x - 2)
или
y = x -1

Нахождение биссектрисы угла из свойств векторов

Найдем биссектрису угла A.
Известно, что диагонали ромба делят углы пополам. Найдем орты векторов AC(-1,-3) и AB(-3,-1). Соответственно и на них, как на сторонах, построим ромб, диагональ которого AK, равную сумме ортов, можно взять в качестве направляющего вектора биссектрисы.
overline{a} = {overline{AB}}/{delim{|}{overline{AB}}{|}} = ({-1}/{sqrt{10}},{-3}/{sqrt{10}})
overline{b} = {overline{AC}}/{delim{|}{overline{AC}}{|}} = ({-3}/{sqrt{10}},{-1}/{sqrt{10}})
overline{AK} = overline{a} + overline{b} = ({-4}/{sqrt{10}},{-4}/{sqrt{10}})
Каноническое уравнение биссектрисы AK примет вид:
{x - 2}/{-4/sqrt{10}} = {y - 1}/{-4/sqrt{10}}
или
{x - 2}/{-4} = {y - 1}/{-4}
y = x -1 или y - x + 1 = 0