Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Дискриминант Интегралы онлайн Пределы онлайн
Производная онлайн Ряд Тейлора Решение уравнений
Метод матриц Обратная матрица Умножение матриц

Как найти периметр треугольника

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон, т.е. PABC = |AB| + |BC| + |CA|
Но как найти периметр треугольника, если треугольник задан через координаты x,y,z? Поясним на примере. Задание. Дано: A(2;1;3); B(2;0;5); C(5;-1;10).
Найти: 1) периметр ABC, с точностью до 0,01; 2) угол ВСА, с точностью до 0,1; 3) площадь ВС, с точностью до 0,01; 4) уравнение прямой В; 5) уравнение плоскости ABC.

Решение.
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 2-2; Y = 0-1; Z = 5-3
AB(0;-1;2)
AC(3;-2;7)
BC(3;-1;5)

2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:




т.е. периметр равен Р = 2.236 + 7.874 + 5.916 =16.026.

3) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AC и BC

γ = arccos(0.91) = 24.50
7) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:

Найдем проекцию вектора AB на вектор AC

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:


Площадь грани ABC

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

ijk
0-12
3-27
=
= i((-1) • 7-(-2) • 2) - j(0 • 7-3 • 2) + k(0 • (-2)-3 • (-1)) = -3i + 6j + 3k

7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

8) Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1
x2-x1y2-y1z2-z1
x3-x1y3-y1z3-z1
= 0
Уравнение плоскости ABC
x-2y-1z-3
0-12
3-27
= 0
(x-2)((-1) • 7-(-2) • 2) - (y-1)(0 • 7-3 • 2) + (z-3)(0 • (-2)-3 • (-1)) = -3x + 6y + 3z-9 = 0