Аналитическая геометрия

1. Длины ребер A₁A₂ и A₁A₃, угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃;
2. Площадь грани A₁A₂A₃, объем пирамиды A₁A₂A₃A₄;
3. Уравнение прямой, проходящей через точки A₁ и A₂, уравнение прямых A₂A₃ и A₁A₃;
4. Уравнение плоскостей A₁A₂A₃ и A₁A₂A₄, угол между плоскостями A₁A₂A₃ и A₁A₂A₄;
5. Записать вектора AB(A₁A₂) и AC (A₁A₃ в системе орт), проекцию вектора AD на вектор AB.
6. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору, уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости
7. Длину высоты пирамиды, проведенной из вершины, уравнение высоты пирамиды через вершину, расстояние от точки до плоскости.

Инструкция. Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее. см. также по координатам треугольника найти.

• Ввод данных
• Инструкция
• Оформление Word

Пример №1. В пирамиде SABC: треугольник ABC - основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2).
Длину вектора находим по формуле:

• Решение
• Видео решение

Для наших данных:


Угол между векторами a₁ и a₂ находят с помощью формулы:

γ = arccos(0.67) = 47.93⁰
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

Объем пирамиды, построенный на векторах равен:

Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнением:

или , z = 0.
Уравнение плоскости, при условии, что точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC запишем как:

или 3x + 2y + 6z-6 = 0
Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D, выражается формулой:

Угол между прямой AD и плоскостью ABC пирамиды можно найти по формуле:

γ = arcsin(0.55) = 33.4⁰

Видеоотчет

Пример №2. В тетраэдре ABCD вычислить:

1. объем тетраэдра ABCD;
2. высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.

Пример №3. Даны координаты четырех точек в пространстве. Используя векторное и смешанное произведения векторов, найти площадь треугольника ABC и объем тетраэдра ABCD. Сделать схематический рисунок.