Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Дискриминант Интегралы онлайн Пределы онлайн
Производная онлайн Ряд Тейлора Решение уравнений
Метод матриц Обратная матрица Умножение матриц

Площадь грани пирамиды

Задание. По координатам пирамиды найти все площади граней.
Решение получаем с помощью калькулятора.

1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -1-3; Y = 6-1; Z = 1-4
AB(-4;5;-3), AC(-4;0;2), AD(-3;3;-5), BC(0;-5;5), BD(1;-2;-2), CD(1;3;-7)

2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:






3) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AB и AC

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
Площадь грани пирамиды: формула

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:


Площадь грани ABC

Найдем площадь грани ABD
Найдем угол между ребрами AB и AD:


Площадь грани ABD

Найдем площадь грани ACD
Найдем угол между ребрами AC и AD:


Площадь грани ACD

Найдем площадь грани BCD
Найдем угол между ребрами BC и BD:


Площадь грани BCD

5) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенного на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:


Находим определитель матрицы
∆ = (-4) • (0 • (-5)-3 • 2)-(-4) • (5 • (-5)-3 • (-3))+(-3) • (5 • 2-0 • (-3)) = -70

7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Уравнение прямой AC

Уравнение прямой BC

Уравнение прямой BD

Уравнение прямой CD

8) Уравнение плоскости
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x-3)(5 • 2-0 • (-3)) - (y-1)((-4) • 2-(-4) • (-3)) + (z-4)((-4) • 0-(-4) • 5) = 10x + 20y + 20z + 130 = 0
Уравнение плоскости ABD

(x-3)(5 • (-5)-3 • (-3)) - (y-1)((-4) • (-5)-(-3) • (-3)) + (z-4)((-4) • 3-(-3) • 5) = -16x - 11y + 3z-47 = 0
Уравнение плоскости ACD

(x-3)(0 • (-5)-3 • 2) - (y-1)((-4) • (-5)-(-3) • 2) + (z-4)((-4) • 3-(-3) • 0) = -6x - 26y - 12z-92 = 0
Уравнение плоскости BCD

(x+1)((-5) • (-2)-(-2) • 5) - (y-6)(0 • (-2)-1 • 5) + (z-1)(0 • (-2)-1 • (-5)) = 20x + 5y + 5z + 15 = 0

9) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x0) + m(y- y0) + n(z- z0) = 0
-4(x - (-1)) + 5(y - 1) + (-3)(z - 6) = 0
-4x + 5y -3z + 9 = 0

10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

12) Угол между прямой AB и плоскостью ABC
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

13) Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD
Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):