Пример решения методом Крамера

Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:

B^T = (20,11,40,37)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
∆_1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):

∆_2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):

∆_3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):

∆_4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Главный определитель:
∆ = 2∙(-67)-1∙(-89)+2∙(-6)-3∙(-16) = -9
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

∆_1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):

∆_2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):

∆_3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):

∆_4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Определитель минора:
∆₁ = 20∙(-67)-11∙(-89)+40∙(-6)-37∙(-16)

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

∆_1,1 = 11∙(9∙2-9∙9)-40∙(2∙2-9∙1)+37∙(2∙9-9∙1)= -160
Минор для (2,1):

∆_2,1 = 20∙(9∙2-9∙9)-40∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙9-9∙1)= -221
Минор для (3,1):

∆_3,1 = 20∙(2∙2-9∙1)-11∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙1-2∙1)= -15
Минор для (4,1):

∆_4,1 = 20∙(2∙9-9∙1)-11∙(4∙9-9∙1)+40∙(4∙1-2∙1)= -37
Определитель минора:
∆₂ = 2∙(-160)-1∙(-221)+2∙(-15)-3∙(-37)

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

∆_1,1 = 3∙(40∙2-37∙9)-10∙(11∙2-37∙1)+8∙(11∙9-40∙1)= -137
Минор для (2,1):

∆_2,1 = 5∙(40∙2-37∙9)-10∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙9-40∙1)= -175
Минор для (3,1):

∆_3,1 = 5∙(11∙2-37∙1)-3∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙1-11∙1)= -12
Минор для (4,1):

∆_4,1 = 5∙(11∙9-40∙1)-3∙(20∙9-40∙1)+10∙(20∙1-11∙1)= -35
Определитель минора:
∆₃ = 2∙(-137)-1∙(-175)+2∙(-12)-3∙(-35)

Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

∆_1,1 = 3∙(9∙37-9∙40)-10∙(2∙37-9∙11)+8∙(2∙40-9∙11)= 17
Минор для (2,1):

∆_2,1 = 5∙(9∙37-9∙40)-10∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙40-9∙20)= 25
Минор для (3,1):

∆_3,1 = 5∙(2∙37-9∙11)-3∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙11-2∙20)= 3
Минор для (4,1):

∆_4,1 = 5∙(2∙40-9∙11)-3∙(4∙40-9∙20)+10∙(4∙11-2∙20)= 5
Определитель минора:
∆₄ = 2∙17-1∙25+2∙3-3∙5

Выпишем отдельно найденные переменные Х:

см. также Вычисление определителя разложением по столбцу.

Пример №2. Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:

Пример №2. Запишем систему в виде:

Пример №3. Запишем систему в виде:

Пример №4. Запишем систему в виде:

Пример №5. Запишем матрицу в виде:

Пример №6. При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если:

• столбцы матрицы А линейно независимы;
• определитель матрицы А не равен нулю;

Пример №7. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение с помощью формул Крамера. Выполнить проверку полученного решения.
-75x ₁ + 35 x ₂ + 25 x ₃ = -4,5
25x ₁ - 70x ₂ + 25 x ₃ = -20
15x ₁ + 10x ₂ - 5 5 x ₃ = -30

• Решение
• Видеоинструкция

Решение получаем через калькулятор. Запишем систему в виде:

B^T = (-4.5,-20,-30)
Главный определитель:
∆ = -75∙(-70∙(-55)-10∙25)-25∙(35∙(-55)-10∙25)+15∙(35∙25-(-70∙25))= -176250 = -176250
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = -4.5∙(-70∙(-55)-10∙25)-(-20∙(35∙(-55)-10∙25))+(-30∙(35∙25-(-70∙25)))= -138450

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = -75∙(-20∙(-55)-(-30∙25))-25∙(-4.5∙(-55)-(-30∙25))+15∙(-4.5∙25-(-20∙25))= -157875

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = -75∙(-70∙(-30)-10∙(-20))-25∙(35∙(-30)-10∙(-4.5))+15∙(35∙(-20)-(-70∙(-4.5)))= -162600

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Видеоинструкция

Пример №8. Решить данную систему уравнений пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
Скачать решение

Перейти к онлайн решению своей задачи