Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Обратная матрица Метод Гаусса
Производная онлайн Определитель матрицы Экстремум функции
Линейная алгебра онлайн Правило Саррюса Метод обратной матрицы

Пример решения методом Крамера

Задание. Дана система линейных уравнений. Найти неизвестные xi методом Крамера.
2 x 1 + 5x2 + 4x3+ x4= 20
x 1 + 3x2 + 2x3+ x4= 11
2 x 1 + 10x2 + 9x3+ 9x4= 40
3 x 1 + 8x2 + 9x3+ 2x4= 37

Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:

BT = (20,11,40,37)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):

2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):

3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):

4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Главный определитель:
∆ = 2∙(-67)-1∙(-89)+2∙(-6)-3∙(-16) = -9
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):

2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):

3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):

4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Определитель минора:
1 = 20∙(-67)-11∙(-89)+40∙(-6)-37∙(-16)

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

1,1 = 11∙(9∙2-9∙9)-40∙(2∙2-9∙1)+37∙(2∙9-9∙1)= -160
Минор для (2,1):

2,1 = 20∙(9∙2-9∙9)-40∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙9-9∙1)= -221
Минор для (3,1):

3,1 = 20∙(2∙2-9∙1)-11∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙1-2∙1)= -15
Минор для (4,1):

4,1 = 20∙(2∙9-9∙1)-11∙(4∙9-9∙1)+40∙(4∙1-2∙1)= -37
Определитель минора:
2 = 2∙(-160)-1∙(-221)+2∙(-15)-3∙(-37)

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

1,1 = 3∙(40∙2-37∙9)-10∙(11∙2-37∙1)+8∙(11∙9-40∙1)= -137
Минор для (2,1):

2,1 = 5∙(40∙2-37∙9)-10∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙9-40∙1)= -175
Минор для (3,1):

3,1 = 5∙(11∙2-37∙1)-3∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙1-11∙1)= -12
Минор для (4,1):

4,1 = 5∙(11∙9-40∙1)-3∙(20∙9-40∙1)+10∙(20∙1-11∙1)= -35
Определитель минора:
3 = 2∙(-137)-1∙(-175)+2∙(-12)-3∙(-35)

Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

1,1 = 3∙(9∙37-9∙40)-10∙(2∙37-9∙11)+8∙(2∙40-9∙11)= 17
Минор для (2,1):

2,1 = 5∙(9∙37-9∙40)-10∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙40-9∙20)= 25
Минор для (3,1):

3,1 = 5∙(2∙37-9∙11)-3∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙11-2∙20)= 3
Минор для (4,1):

4,1 = 5∙(2∙40-9∙11)-3∙(4∙40-9∙20)+10∙(4∙11-2∙20)= 5
Определитель минора:
4 = 2∙17-1∙25+2∙3-3∙5

Выпишем отдельно найденные переменные Х:



см. также Вычисление определителя разложением по столбцу.

Пример №2. Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:

A =
123
456
780
BT = (6,9,-6)
Главный определитель:
∆ = 1 • (5 • 0-8 • 6)-4 • (2 • 0-8 • 3)+7 • (2 • 6-5 • 3) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
623
956
-680
Найдем определитель полученной матрицы.
1 = 6 • (5 • 0-8 • 6)-9 • (2 • 0-8 • 3)+(-6 • (2 • 6-5 • 3)) = -54
x1 = -54/27 = -2
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
163
496
7-60
Найдем определитель полученной матрицы.
2 = 1 • (9 • 0-(-6 • 6))-4 • (6 • 0-(-6 • 3))+7 • (6 • 6-9 • 3) = 27
x2 = 27/27 = 1
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
126
459
78-6
Найдем определитель полученной матрицы.
3 = 1 • (5 • (-6)-8 • 9)-4 • (2 • (-6)-8 • 6)+7 • (2 • 9-5 • 6) = 54
x3 = 54/27 = 2
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -54/27 = -2
x2 = 27/27 = 1
x3 = 54/27 = 2
Проверка.
1•-2+2•1+3•2 = 6
4•-2+5•1+6•2 = 9
7•-2+8•1+0•2 = -6

Пример №2. Запишем систему в виде:

A =
2-112-5
1-1-50
3-2-2-5
7-5-9-1
BT = (1,0,3,-4)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-2-5
-5-9-1
Найдем определитель для этого минора.
1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
2,1 =
-112-5
-2-2-5
-5-9-1

2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
3,1 =
-112-5
-1-50
-5-9-1
3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
4,1 =
-112-5
-1-50
-2-2-5
4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Главный определитель:
∆ = 2 • (-72)-1 • 279+3 • 63-7 • (-45) = 81
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
1-112-5
0-1-50
3-2-2-5
-4-5-9-1
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-2-5
-5-9-1
1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
2,1 =
-112-5
-2-2-5
-5-9-1
2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
3,1 =
-112-5
-1-50
-5-9-1
3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
4,1 =
-112-5
-1-50
-2-2-5
4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Определитель минора:
1 = 1 • (-72)-0 • 279+3 • 63-(-4 • (-45))
x1 = -63/81 = -0.78
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
2112-5
10-50
33-2-5
7-4-9-1
Минор для (1,1):
1,1 =
0-50
3-2-5
-4-9-1
1,1 = 0 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))+(-4 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -115
Минор для (2,1):
2,1 =
112-5
3-2-5
-4-9-1
2,1 = 1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 408
Минор для (3,1):
3,1 =
112-5
0-50
-4-9-1
3,1 = 1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-0 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 105
Минор для (4,1):
4,1 =
112-5
0-50
3-2-5
4,1 = 1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-0 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))+3 • (12 • 0-(-5 • (-5))) = -50
Определитель минора:
2 = 2 • (-115)-1 • 408+3 • 105-7 • (-50)
x2 = 27/81 = 0.33
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
2-11-5
1-100
3-23-5
7-5-4-1
Минор для (1,1):
1,1 =
-100
-23-5
-5-4-1
Найдем определитель для этого минора.
1,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (0 • (-1)-(-4 • 0)))+(-5 • (0 • (-5)-3 • 0)) = 23
Минор для (2,1):
2,1 =
-11-5
-23-5
-5-4-1
2,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • (-5)-3 • (-5))) = -69
Минор для (3,1):
3,1 =
-11-5
-100
-5-4-1
3,1 = -1 • (0 • (-1)-(-4 • 0))-(-1 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • 0-0 • (-5))) = -21
Минор для (4,1):
4,1 =
-11-5
-100
-23-5
4,1 = -1 • (0 • (-5)-3 • 0)-(-1 • (1 • (-5)-3 • (-5)))+(-2 • (1 • 0-0 • (-5))) = 10
Определитель минора:
3 = 2 • 23-1 • (-69)+3 • (-21)-7 • 10
x3 = -18/81 = -0.22
Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
4 =
2-1121
1-1-50
3-2-23
7-5-9-4
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-23
-5-9-4
1,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (-5 • (-4)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • 3-(-2 • 0))) = 80
Минор для (2,1):
2,1 =
-1121
-2-23
-5-9-4
2,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 3-(-2 • 1))) = -303
Минор для (3,1):
3,1 =
-1121
-1-50
-5-9-4
3,1 = -1 • (-5 • (-4)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 0-(-5 • 1))) = -84
Минор для (4,1):
4,1 =
-1121
-1-50
-2-23
4,1 = -1 • (-5 • 3-(-2 • 0))-(-1 • (12 • 3-(-2 • 1)))+(-2 • (12 • 0-(-5 • 1))) = 43
Определитель минора:
4 = 2 • 80-1 • (-303)+3 • (-84)-7 • 43
x4 = -90/81 = -1.11
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -63/81 = -0.78
x2 = 27/81 = 0.33
x3 = -18/81 = -0.22
x4 = -90/81 = -1.11
Проверка.
2•-0.78+-1•0.33+12•-0.22+-5•-1.11 = 1
1•-0.78+-1•0.33+-5•-0.22+0•-1.11 = 0
3•-0.78+-2•0.33+-2•-0.22+-5•-1.11 = 3
7•-0.78+-5•0.33+-9•-0.22+-1•-1.11 = -4

Пример №3. Запишем систему в виде:

A =
21-1
1-22
311
BT = (-1,-3,-8)
Главный определитель:
∆ = 2 • (-2 • 1-1 • 2)-1 • (1 • 1-1 • (-1))+3 • (1 • 2-(-2 • (-1))) = -10 = -10
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
-11-1
-3-22
-811
1 = -1 • (-2 • 1-1 • 2)-(-3 • (1 • 1-1 • (-1)))+(-8 • (1 • 2-(-2 • (-1)))) = 10
x1 = 10/-10 = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
2-1-1
1-32
3-81
2 = 2 • (-3 • 1-(-8 • 2))-1 • (-1 • 1-(-8 • (-1)))+3 • (-1 • 2-(-3 • (-1))) = 20
x2 = 20/-10 = -2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
21-1
1-2-3
31-8
3 = 2 • (-2 • (-8)-1 • (-3))-1 • (1 • (-8)-1 • (-1))+3 • (1 • (-3)-(-2 • (-1))) = 30
x3 = 30/-10 = -3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = 10/-10 = -1
x2 = 20/-10 = -2
x3 = 30/(-10) = -3
Проверка.
2•-1+1•-2+-1•-3 = -1
1•-1+-2•-2+2•-3 = -3
3•-1+1•-2+1•-3 = -8

Пример №4. Запишем систему в виде:

A =
1-11
43-2
2-15
BT = (0,-4,11)
Главный определитель:
∆ = 1 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-4 • (-1 • 5-(-1 • 1))+2 • (-1 • (-2)-3 • 1) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
0-11
-43-2
11-15
1 = 0 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-(-4 • (-1 • 5-(-1 • 1)))+11 • (-1 • (-2)-3 • 1) = -27
x1 = -27/27 = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
101
4-4-2
2115
2 = 1 • (-4 • 5-11 • (-2))-4 • (0 • 5-11 • 1)+2 • (0 • (-2)-(-4 • 1)) = 54
x2 = 54/27 = 2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
1-10
43-4
2-111
3 = 1 • (3 • 11-(-1 • (-4)))-4 • (-1 • 11-(-1 • 0))+2 • (-1 • (-4)-3 • 0) = 81
x3 = 81/27 = 3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x1 = -27/27 = -1
x2 = 54/27 = 2
x3 = 81/27 = 3
Проверка.
1•-1+-1•2+1•3 = 0
4•-1+3•2+-2•3 = -4
2•-1+-1•2+5•3 = 11

Пример №5. Запишем матрицу в виде:

A =
122
2-21
31-1
Главный определитель:
∆ = 1 • (-2 • (-1)-1 • 1)-2 • (2 • (-1)-1 • 2)+3 • (2 • 1-(-2 • 2)) = 27

Пример №6. При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если:

Пример №7. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение с помощью формул Крамера. Выполнить проверку полученного решения.
-75x 1 + 35 x 2 + 25 x 3 = -4,5
25x 1 - 70x 2 + 25 x 3 = -20
15x 1 + 10x 2 - 5 5 x 3 = -30

Решение получаем через калькулятор. Запишем систему в виде:
Определитель матрицы
BT = (-4.5,-20,-30)
Главный определитель:
∆ = -75∙(-70∙(-55)-10∙25)-25∙(35∙(-55)-10∙25)+15∙(35∙25-(-70∙25))= -176250 = -176250
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
1 = -4.5∙(-70∙(-55)-10∙25)-(-20∙(35∙(-55)-10∙25))+(-30∙(35∙25-(-70∙25)))= -138450

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
2 = -75∙(-20∙(-55)-(-30∙25))-25∙(-4.5∙(-55)-(-30∙25))+15∙(-4.5∙25-(-20∙25))= -157875

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
3 = -75∙(-70∙(-30)-10∙(-20))-25∙(35∙(-30)-10∙(-4.5))+15∙(35∙(-20)-(-70∙(-4.5)))= -162600

Выпишем отдельно найденные переменные Х


Пример №8. Решить данную систему уравнений пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
Скачать решение

Перейти к онлайн решению своей задачи