Вычисление определителя разложением по строкам
Задание №1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по строкам.Решение.
Пример. Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:
| A = |
|
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 1,1 = |
|
∆1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 2,1 = |
|
∆1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 3,1 = |
|
∆1,3 = (3 • 0-(-2 • 2)) = 4
Определитель исходной матрицы равен
∆ = (2 • 6-3 • 11+(-1 • 4)) = -25
Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться.
Минор для (2,1): вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 1,1 = |
|
∆2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9
Минор для (2,2):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 2,1 = |
|
∆2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4
Минор для (2,3):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 3,1 = |
|
∆2,3 = (2 • 0-(-2 • 3)) = 6
Главный определитель:
∆ = (3 • 9-2 • 4+1 • 6) = -25
Скачать решение
Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 1,1 = |
|
∆3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5
Минор для (3,2):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 2,1 = |
|
∆3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5
Минор для (3,3):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.
| 2 | 3 | -1 |
| 3 | 2 | 1 |
| -2 | 0 | 3 |
| ∆ 3,1 = |
|
∆3,3 = (2 • 2-3 • 3) = -5
В итоге, главный определитель матрицы равен
∆ = (-2 • 5-0 • 5+3 • (-5)) = -25
Выводы. Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.
Пример №2. Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.