Определитель матрицы
Найти определитель матрицы
Решить онлайн
Примеры решений Ранг матрицы Обратная матрица Метод Гаусса Производная онлайн Определитель матрицы Экстремум функции Линейная алгебра онлайн Правило Саррюса Метод обратной матрицы

Вычисление определителя разложением по строкам

Задание №1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по строкам.
Решение.

Пример. Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:

A =
23-1
321
-203
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
23-1
3 2 1
-2 0 3
Получаем:
1,1 =
21
03
Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.
23-1
32 1
-20 3
Получаем:
2,1 =
31
-23
Найдем определитель для этого минора.
1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.
23-1
3 21
-2 03
Получаем:
3,1 =
32
-20
Найдем определитель для этого минора.
1,3 = (3 • 0-(-2 • 2)) = 4
Определитель исходной матрицы равен ∆ = (2 • 6-3 • 11+(-1 • 4)) = -25

Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться.
Минор для (2,1): вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

2 3 -1
321
-2 0 3
Получаем:
1,1 =
3-1
03
Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9
Минор для (2,2):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.
23 -1
321
-20 3
Получаем:
2,1 =
2-1
-23
Найдем определитель для этого минора.
2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4
Минор для (2,3):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.
2 3-1
321
-2 03
Получаем:
3,1 =
23
-20
Найдем определитель для этого минора.
2,3 = (2 • 0-(-2 • 3)) = 6
Главный определитель: ∆ = (3 • 9-2 • 4+1 • 6) = -25
Скачать решение

Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

2 3 -1
3 2 1
-203
Получаем:
1,1 =
3-1
21
Найдем определитель для этого минора.
3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5
Минор для (3,2):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.
23 -1
32 1
-203
Получаем:
2,1 =
2-1
31
Найдем определитель для этого минора.
3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5
Минор для (3,3):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.
2 3-1
3 21
-203
Получаем:
3,1 =
23
32
Найдем определитель для этого минора.
3,3 = (2 • 2-3 • 3) = -5
В итоге, главный определитель матрицы равен ∆ = (-2 • 5-0 • 5+3 • (-5)) = -25

Выводы. Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.

Пример №2. Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.

Инвестиции с JetLend

Удобный сервис для инвестора и заемщика. Инвестируйте в лучшие компании малого бизнеса по ставкам от 16,9% до 37,7% годовых.
Подробнее
Онлайн-университет
Профессии с трудоустройством. Наши направления:
√ Программирование и Дизайн
√ Маркетинг и Управление
√ Игры и Мультимедиа
Программа курсов
Редактор формул онлайн
Удобный редактор формул для Word, Latex и Web.
Редактор формул онлайн
Подробнее
Курсовые на заказ