Вычисление определителя разложением по строкам

Задание №1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по строкам.
Решение.

Пример. Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:

A =
23-1
321
-203

Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

23-1
3 2 1
-2 0 3

Получаем:
1,1 =
21
03

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

23-1
32 1
-20 3

Получаем:
2,1 =
31
-23

Найдем определитель для этого минора.
1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

23-1
3 21
-2 03

Получаем:
3,1 =
32
-20

Найдем определитель для этого минора.
1,3 = (3 • 0-(-2 • 2)) = 4
Определитель исходной матрицы равен ∆ = (2 • 6-3 • 11+(-1 • 4)) = -25

Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться.
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

2 3 -1
321
-2 0 3

Получаем:
1,1 =
3-1
03

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9
Минор для (2,2):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

23 -1
321
-20 3

Получаем:
2,1 =
2-1
-23

Найдем определитель для этого минора.
2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4
Минор для (2,3):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

2 3-1
321
-2 03

Получаем:
3,1 =
23
-20

Найдем определитель для этого минора.
2,3 = (2 • 0-(-2 • 3)) = 6
Главный определитель: ∆ = (3 • 9-2 • 4+1 • 6) = -25
Скачать решение

Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

2 3 -1
3 2 1
-203

Получаем:
1,1 =
3-1
21

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5
Минор для (3,2):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

23 -1
32 1
-203

Получаем:
2,1 =
2-1
31

Найдем определитель для этого минора.
3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5
Минор для (3,3):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

2 3-1
3 21
-203

Получаем:
3,1 =
23
32

Найдем определитель для этого минора.
3,3 = (2 • 2-3 • 3) = -5
В итоге, главный определитель матрицы равен ∆ = (-2 • 5-0 • 5+3 • (-5)) = -25

Выводы. Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.

Пример №2. Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.

Открыть диалог Discus Помощь в решении