Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Метод Зейделя Метод Ньютона Метод хорд
Решение уравнений Метод LU-разложения Метод Гаусса
Матрица Гессе Градиент функции Экстремум функции

Решение СЛАУ методом простой итерации

Метод простой итерации относится к итерационным методам решения СЛАУ.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом простой итерации в онлайн режиме (см. пример решения). Для проверки решения генерируется шаблон в Excel.

Инструкция. Выберите количество переменных, нажмите Далее.
Количество переменных
Метод простой итерации даёт возможность получить последовательность приближённых значений, сходящуюся к точному решению системы.
Преобразуем систему (3.1) к нормальному виду:
. (3.2)
Правая часть системы (3.2) определяет отображение:
x=(x1, x2, ..., xn), преобразующее точку n-мерного метрического пространства в точку y=(y1, y2, ..., yn) того же пространства.
Выбрав начальную точку x0=(x01, x02, ..., x0n), можно построить итерационную последовательность точек n - мерного пространства: x0, x1=F(x0), ... , xn+1=F(xn)
При определённых условиях данная последовательность сходится.
Так, для исследования сходимости таких последовательностей используется принцип сжимающих отображений, который состоит в следующем.
Если F– сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве с метрикой ρ(x,y), то существует единственная неподвижная точка x*, такая, что x*=F(x*). При этом итерационная последовательность, {xn}, полученная с помощью отображения F с любым начальным членом х(0), сходится к x*.
Оценка расстояния между неподвижной точкой x* отображения F и приближением х(к) даётся формулами:
(3.3)
где α – множитель, определяемый достаточными условиями сжимаемости отображения F.
Значение множителя α, определяется выбором метрики, в которой проверяется сходимость последовательности значений xi.

Рассмотрим достаточные условия сходимости итерационной последовательности {xn}.
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно "погрузить" в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой ρ1: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой ρ2: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой ρ3: , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы

Пример. Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать x0=(0; 0; 0).

Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:

Последовательные приближения будем искать по формулам:

Получаем:
x1=(-1.9022; 0.4889; 2.1456), x2=(-1.1720; 0.6315; 1.2389).
Для оценки погрешности в метрике ρ1 вычисляем коэффициент μ
.
Вычисляем погрешность:

При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае для решения СЛАУ иногда удобнее пользоваться методом простой итерации.

Метод итераций для системы уравнений в Excel

На листе Excel организуется таблица в три зоны: первая зона состоит из одного столбца (номер итерации), вторая зона определяет переменные x, третья зона под вычисления точности epsilon.
Во второй зоне по итерационной схеме организуется расчет переменных x (в примере для случая трех переменных):
Итерация №1:=$F$2/$B$2-C6*$C$2/$B$2-D6*$D$2/$B$2;=$F$3/$C$3-B6*$B$3/$C$3-D6*$D$3/$C$3;=$F$4/$D$4-B6*$B$4/$D$4-C6*$C$4/$D$4
Итерация №2:=$F$2/$B$2-C7*$C$2/$B$2-D7*$D$2/$B$2;=$F$3/$C$3-B7*$B$3/$C$3-D7*$D$3/$C$3;=$F$4/$D$4-B7*$B$4/$D$4-C7*$C$4/$D$4

Для вычисления точности epsilon.
Итерация №1:=ABS(B7)-ABS(B6);=ABS(C7)-ABS(C6);=ABS(D7)-ABS(D6)
Итерация №2:=ABS(B8)-ABS(B7);=ABS(C8)-ABS(C7);=ABS(D8)-ABS(D7)
Скачать шаблон решения.

Пример. Методом итераций решить систему линейных алгебраических уравнений предварительно приведя ее к диагональному преобладанию.
Решение. Приведем матрицу к диагональному преобладанию.
Умножаем матрицы ATA.

ATA=
80-12
05112
-121224
Умножаем матрицы ATb.
ATb=
58
-41
-88
Приведем к виду:
x1=7.25-1.5x3
x2=-0.8+0.24x3
x3=-3.67-0.5x1+0.5x2
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=7.25 - 0 • 0 - 0 • (-1.5)=7.25
x2=-0.8 - 0 • 0 - 0 • 0.24=-0.8
x3=-3.67 - 0 • (-0.5) - 0 • 0.5=-3.67
N=2
x1=7.25 - (-0.8) • 0 - (-3.67) • (-1.5)=1.75
x2=-0.8 - 7.25 • 0 - (-3.67) • 0.24=0.0588
x3=-3.67 - 7.25 • (-0.5) - (-0.8) • 0.5=0.36
N=3
x1=7.25 - 0.0588 • 0 - 0.36 • (-1.5)=7.79
x2=-0.8 - 1.75 • 0 - 0.36 • 0.24=-0.89
x3=-3.67 - 1.75 • (-0.5) - 0.0588 • 0.5=-2.82
Остальные расчеты сведем в таблицу.
Nx1x2x3e1e2e3
0000
17.25-0.8-3.677.250.83.67
21.750.05880.36-5.5-0.75-3.31
37.79-0.89-2.826.040.832.46
43.02-0.140.67-4.77-0.75-2.15
58.26-0.96-2.095.240.821.41
64.12-0.310.94-4.14-0.65-1.14
78.67-1.03-1.454.550.710.51
85.07-0.461.18-3.59-0.56-0.27
99.02-1.08-0.93.950.62-0.28
105.9-0.591.38-3.12-0.490.49
119.33-1.13-0.423.420.54-0.96
126.62-0.711.56-2.7-0.421.14
139.59-1.17-0.003512.970.47-1.56
147.24-0.81.71-2.35-0.371.71
159.82-1.210.362.580.4-1.36
167.79-0.891.85-2.04-0.321.49
1710.02-1.240.672.240.35-1.18
188.26-0.961.96-1.77-0.281.29
После N-ой итерации получаем: x1 = 7.5, x2 = -0.75, x3 = 0.25