Решение СЛАУ методом простой итерации
Метод простой итерации относится к итерационным методам решения СЛАУ.Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом простой итерации в онлайн режиме (см. пример решения). Для проверки решения генерируется шаблон в Excel.
Метод простой итерации даёт возможность получить последовательность приближённых значений, сходящуюся к точному решению системы.
Преобразуем систему (3.1) к нормальному виду:
. (3.2)
Правая часть системы (3.2) определяет отображение:
x=(x1, x2, ..., xn), преобразующее точку n-мерного метрического пространства в точку y=(y1, y2, ..., yn) того же пространства.
Выбрав начальную точку x0=(x01, x02, ..., x0n), можно построить итерационную последовательность точек n - мерного пространства: x0, x1=F(x0), ... , xn+1=F(xn)
При определённых условиях данная последовательность сходится.
Так, для исследования сходимости таких последовательностей используется принцип сжимающих отображений, который состоит в следующем.
Если F– сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве с метрикой ρ(x,y), то существует единственная неподвижная точка x*, такая, что x*=F(x*). При этом итерационная последовательность, {xn}, полученная с помощью отображения F с любым начальным членом х(0), сходится к x*.
Оценка расстояния между неподвижной точкой x* отображения F и приближением х(к) даётся формулами:
(3.3)
где α – множитель, определяемый достаточными условиями сжимаемости отображения F.
Значение множителя α, определяется выбором метрики, в которой проверяется сходимость последовательности значений xi.
Рассмотрим достаточные условия сходимости итерационной последовательности {xn}.
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно "погрузить" в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой ρ1: 
, т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой ρ2: 
, т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой ρ3: 
, т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы
Пример. Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать x0=(0; 0; 0).
Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:
Последовательные приближения будем искать по формулам:
Получаем:
x1=(-1.9022; 0.4889; 2.1456), x2=(-1.1720; 0.6315; 1.2389).
Для оценки погрешности в метрике ρ1 вычисляем коэффициент μ
.
Вычисляем погрешность:
При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае для решения СЛАУ иногда удобнее пользоваться методом простой итерации.
Метод итераций для системы уравнений в Excel
На листе Excel организуется таблица в три зоны: первая зона состоит из одного столбца (номер итерации), вторая зона определяет переменные x, третья зона под вычисления точности epsilon.Во второй зоне по итерационной схеме организуется расчет переменных x (в примере для случая трех переменных):
Итерация №1:
=$F$2/$B$2-C6*$C$2/$B$2-D6*$D$2/$B$2;=$F$3/$C$3-B6*$B$3/$C$3-D6*$D$3/$C$3;=$F$4/$D$4-B6*$B$4/$D$4-C6*$C$4/$D$4
Итерация №2:
=$F$2/$B$2-C7*$C$2/$B$2-D7*$D$2/$B$2;=$F$3/$C$3-B7*$B$3/$C$3-D7*$D$3/$C$3;=$F$4/$D$4-B7*$B$4/$D$4-C7*$C$4/$D$4
Для вычисления точности epsilon.
Итерация №1:=ABS(B7)-ABS(B6);=ABS(C7)-ABS(C6);=ABS(D7)-ABS(D6)
Итерация №2:=ABS(B8)-ABS(B7);=ABS(C8)-ABS(C7);=ABS(D8)-ABS(D7)
Скачать шаблон решения.
Пример. Методом итераций решить систему линейных алгебраических уравнений предварительно приведя ее к диагональному преобладанию.
Решение. Приведем матрицу к диагональному преобладанию.
Умножаем матрицы ATA.
| ATA= |
|
| ATb= |
|
x1=7.25-1.5x3
x2=-0.8+0.24x3
x3=-3.67-0.5x1+0.5x2
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=7.25 - 0 • 0 - 0 • (-1.5)=7.25
x2=-0.8 - 0 • 0 - 0 • 0.24=-0.8
x3=-3.67 - 0 • (-0.5) - 0 • 0.5=-3.67
N=2
x1=7.25 - (-0.8) • 0 - (-3.67) • (-1.5)=1.75
x2=-0.8 - 7.25 • 0 - (-3.67) • 0.24=0.0588
x3=-3.67 - 7.25 • (-0.5) - (-0.8) • 0.5=0.36
N=3
x1=7.25 - 0.0588 • 0 - 0.36 • (-1.5)=7.79
x2=-0.8 - 1.75 • 0 - 0.36 • 0.24=-0.89
x3=-3.67 - 1.75 • (-0.5) - 0.0588 • 0.5=-2.82
Остальные расчеты сведем в таблицу.
| N | x1 | x2 | x3 | e1 | e2 | e3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 1 | 7.25 | -0.8 | -3.67 | 7.25 | 0.8 | 3.67 |
| 2 | 1.75 | 0.0588 | 0.36 | -5.5 | -0.75 | -3.31 |
| 3 | 7.79 | -0.89 | -2.82 | 6.04 | 0.83 | 2.46 |
| 4 | 3.02 | -0.14 | 0.67 | -4.77 | -0.75 | -2.15 |
| 5 | 8.26 | -0.96 | -2.09 | 5.24 | 0.82 | 1.41 |
| 6 | 4.12 | -0.31 | 0.94 | -4.14 | -0.65 | -1.14 |
| 7 | 8.67 | -1.03 | -1.45 | 4.55 | 0.71 | 0.51 |
| 8 | 5.07 | -0.46 | 1.18 | -3.59 | -0.56 | -0.27 |
| 9 | 9.02 | -1.08 | -0.9 | 3.95 | 0.62 | -0.28 |
| 10 | 5.9 | -0.59 | 1.38 | -3.12 | -0.49 | 0.49 |
| 11 | 9.33 | -1.13 | -0.42 | 3.42 | 0.54 | -0.96 |
| 12 | 6.62 | -0.71 | 1.56 | -2.7 | -0.42 | 1.14 |
| 13 | 9.59 | -1.17 | -0.00351 | 2.97 | 0.47 | -1.56 |
| 14 | 7.24 | -0.8 | 1.71 | -2.35 | -0.37 | 1.71 |
| 15 | 9.82 | -1.21 | 0.36 | 2.58 | 0.4 | -1.36 |
| 16 | 7.79 | -0.89 | 1.85 | -2.04 | -0.32 | 1.49 |
| 17 | 10.02 | -1.24 | 0.67 | 2.24 | 0.35 | -1.18 |
| 18 | 8.26 | -0.96 | 1.96 | -1.77 | -0.28 | 1.29 |
