Формула Симпсона

Остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен

, где ξ∈(x₀,x₂) или

Назначение сервиса. Сервис предназначен для вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона в онлайн режиме.

Инструкция. Введите подынтегральную функцию f(x), нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel.

Правила ввода функции

Примеры правильного написания F(x):
1) 10•x•e^2x ≡ 10*x*exp(2*x)
2) x•e^-x+cos(3x) ≡ x*exp(-x)+cos(3*x)
3) x³-x²+3 ≡ x^3-x^2+3

Скачать пример оформления

Вывод формулы Симпсона

Из формулы

при n = 2 получаем

Т.к. x₂-x₀ = 2h, то имеем

. (10)
Это формула Симпсона. Геометрически это означает, что кривую y=f(x) мы заменяем параболой y=L₂(x), проходящей через три точки: M₀(x₀,y₀), M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂).

Остаточный член формулы Симпсона равен

Предположим, что y∈C⁽⁴⁾[a,b]. Получим явное выражение для R. Фиксируя среднюю точку x₁ и рассматривая R=R(h) как функцию h, будем иметь:

Отсюда дифференцируя последовательно три раза по h, получим

Окончательно имеем

где ξ₃∈(x₁-h,x₁+h). Кроме того, имеем: R(0) = 0, R'(0)=0. R''(0)=0. Теперь, последовательно интегрируя R'''(h), используя теорему о среднем, получим

Таким образом, остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен

, где ξ∈(x₀,x₂). (11)
Следовательно, формула Симпсона является точной для полиномов не только второй, но и третьей степени.
Получим теперь формулу Симпсона для произвольного интервала [a,b]. Пусть n = 2m есть четное число узлов сетки {x_i}, x_i=a+i·h, i=0,...,n,

и y_i=f(x_i). Применяя формулу Симпсона (10) к каждому удвоенному промежутку [x₀, x₂], [x₂, x₄],..., [x_2m-2, x_2m] длины 2h, будем иметь

Отсюда получаем общую формулу Симпсона

.(12)

Ошибка для каждого удвоенного промежутка [x_2k-2, x_2k] (k=1,...,m) дается формулой (11).

Т.к. число удвоенных промежутков равно m, то

С учетом непрерывности y^IV на [a,b], можно найти точку ε, такую, что

.
Поэтому будем иметь

. (13)

Если задана предельно допустимая погрешность ε, то, обозначив

, получим для определения шага h

.
На практике вычисление R по формуле (13) бывает затруднительным. В этом случае можно поступить следующим образом. Вычисляем интеграл I(h)=I₁ с шагом h, I(2h)=I₂ с шагом 2h и т.д. и вычисляем погрешность Δ:
Δ = |I_k-I_k-1| ≤ ε. (14)
Если неравенство (14) выполняется (ε - заданная погрешность), то за оценку интеграла берут I_k = I(k·h).
Замечание. Если сетка неравномерная, то формула Симпсона приобретает следующий вид:

Пусть число узлов n= 2m (четное). Тогда

где h_i=x_i-x_i-1.

Пример №1. С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл , приняв n = 10.
Решение: Имеем 2m = 10. Отсюда . Результаты вычислений даны в таблице:

i	x_i	y_2i-1	y_2i
0	0		y₀= 1.00000
1	0.1	0.90909
2	0.2		0.83333
3	0.3	0.76923
4	0.4		0.71429
5	0.5	0.66667
6	0.6		0.62500
7	0.7	0.58824
8	0.8		0.55556
9	0.9	0.52632
10	1.0		y_n=0.50000
∑		σ₁	σ₂

По формуле (12) получим

.
Рассчитаем погрешность R=R₂. Т.к.

, то

.
Отсюда max|y^IV|=24 при 0≤x≤1 и, следовательно

. Таким образом, I = 0.69315 ± 0.00001.

Пример №2. В задачах вычислить определенный интеграл приближенно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.