Формула Симпсона
![Формула Симпсона Формула Симпсона](images/integration-image211.gif)
Остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен
![](images/integration-image231.gif)
![](images/integration-image244.gif)
Назначение сервиса. Сервис предназначен для вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона в онлайн режиме.
Инструкция. Введите подынтегральную функцию f(x)
, нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel.
Правила ввода функции
1)
10•x•e2x
≡ 10*x*exp(2*x)
2)
x•e-x+cos(3x)
≡ x*exp(-x)+cos(3*x)
3)
x3-x2+3
≡ x^3-x^2+3
Вывод формулы Симпсона
Из формулы![](images/integration-image208.gif)
при n = 2 получаем
![](images/integration-image209.gif)
Т.к. x2-x0 = 2h, то имеем
![](images/integration-image211.gif)
Это формула Симпсона. Геометрически это означает, что кривую y=f(x) мы заменяем параболой y=L2(x), проходящей через три точки: M0(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2).
![](images/integration-image214.gif)
![](images/integration-image215.gif)
Остаточный член формулы Симпсона равен
![](images/integration-image216.gif)
Предположим, что y∈C(4)[a,b]. Получим явное выражение для R. Фиксируя среднюю точку x1 и рассматривая R=R(h) как функцию h, будем иметь:
![](images/integration-image221.gif)
![](images/integration-image222.gif)
![](images/integration-image223.gif)
![](images/integration-image224.gif)
![](images/integration-image225.gif)
где ξ3∈(x1-h,x1+h). Кроме того, имеем: R(0) = 0, R'(0)=0. R''(0)=0. Теперь, последовательно интегрируя R'''(h), используя теорему о среднем, получим
![](images/integration-image230.gif)
![](images/integration-image231.gif)
Следовательно, формула Симпсона является точной для полиномов не только второй, но и третьей степени.
Получим теперь формулу Симпсона для произвольного интервала [a,b]. Пусть n = 2m есть четное число узлов сетки {xi}, xi=a+i·h, i=0,...,n,
![](images/integration-image234.gif)
![](images/integration-image236.gif)
Отсюда получаем общую формулу Симпсона
![](images/integration-image237.gif)
![](images/integration-image239.gif)
Т.к. число удвоенных промежутков равно m, то
![](images/integration-image240.gif)
С учетом непрерывности yIV на [a,b], можно найти точку ε, такую, что
![](images/integration-image243.gif)
Поэтому будем иметь
![](images/integration-image244.gif)
![](images/integration-image246.gif)
![](images/integration-image247.gif)
На практике вычисление R по формуле (13) бывает затруднительным. В этом случае можно поступить следующим образом. Вычисляем интеграл I(h)=I1 с шагом h, I(2h)=I2 с шагом 2h и т.д. и вычисляем погрешность Δ:
Δ = |Ik-Ik-1| ≤ ε. (14)
Если неравенство (14) выполняется (ε - заданная погрешность), то за оценку интеграла берут Ik = I(k·h).
Замечание. Если сетка неравномерная, то формула Симпсона приобретает следующий вид:
![](images/integration-image255.gif)
![](images/integration-image256.gif)
Пример №1. С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл , приняв n = 10.
Решение: Имеем 2m = 10. Отсюда . Результаты вычислений даны в таблице:
i | xi | y2i-1 | y2i |
0 | 0 | y0= 1.00000 | |
1 | 0.1 | 0.90909 | |
2 | 0.2 | 0.83333 | |
3 | 0.3 | 0.76923 | |
4 | 0.4 | 0.71429 | |
5 | 0.5 | 0.66667 | |
6 | 0.6 | 0.62500 | |
7 | 0.7 | 0.58824 | |
8 | 0.8 | 0.55556 | |
9 | 0.9 | 0.52632 | |
10 | 1.0 | yn=0.50000 | |
∑ | σ1 | σ2 |
По формуле (12) получим
![](images/integration-image267.gif)
Рассчитаем погрешность R=R2. Т.к.
![](images/integration-image269.gif)
![](images/integration-image270.gif)
Отсюда max|yIV|=24 при 0≤x≤1 и, следовательно
![](images/integration-image273.gif)
Пример №2. В задачах вычислить определенный интеграл приближенно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.
Решение:
![](images/1/esimpson1.png)
![](images/1/esimpson2.png)
i | xi | yi |
0 | -2 | 0.7071 |
1 | -1 | 0.378 |
2 | 0 | 0.3536 |
3 | 1 | 0.2425 |
4 | 2 | 0.1474 |
5 | 3 | 0.09667 |
6 | 4 | 0.06868 |
7 | 5 | 0.05178 |
8 | 6 | 0.04076 |
9 | 7 | 0.03313 |
10 | 8 | 0.02761 |
![](images/1/esimpson3.png)
![](images/1/esimpson4.png)
![](images/1/esimpson5.png)