Метод хорд

• Ввод данных
• Инструкция
• Оформление Word

Инструкция. Введите выражение F(x), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel. Ниже представлена видеоинструкция.

F(x) =

Искать в интервале от до
Точность ξ =
Количество интервалов разбиения, n =
Метод решения нелинейных уравнений Метод дихотомииМетод Ньютона (метод касательных)Модифицированный метод НьютонаМетод хордКомбинированный методМетод золотого сеченияМетод итерацийМетод секущих

...load... Действия

• Загрузить предыдущие

Видеоинструкция

Правила ввода функции

Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos2(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

Скачать пример оформления

Рассмотрим рис.1а. Проведем через точки А и В хорду. Уравнение хорды
.
В точке x=x₁, y=0, в результате получим первое приближение корня
. (3.8)
Проверяем условия
(а) f(x₁)f(b)<0,
(б) f(x₁)f(a)<0.
Если выполняется условие (а), то в формуле (3.8) точку a заменяем на x₁, получим

.

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения
. (3.9)
Здесь подвижен конец a, то есть f(x_i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Рассмотрим случай, когда неподвижен конец a.
f’’(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f’’(b)<0 f(a)f’’(a)<0

На рис 1б,2б выполняется f(x_i)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x₁ (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x₁)f(a)<0. Затем вводим b₁=x₁ (в формуле (3.8) точку b заменяем на x₁), получим
.
Продолжая процесс, придем к формуле
. (3.10)
Останов процесса

|x_n – x_n-1|<ε; ξ≈x_n

Рис. 3
На рис.3 f’’(x) меняет знак, поэтому подвижными будут оба конца.
Прежде чем перейти к вопросу о сходимости итерационного процесса метода хорд введем понятие выпуклой функции.

Определение. Непрерывная на [a,b] функция называется выпуклой (вогнутой), если для любых двух точек x₁,x₂, удовлетворяющих a≤x₁<x₂≤b и aÎ[0,1] выполняется соотношение
f(αx₁ + (1-α)x₂) ≤ αf(x₁) + (1-α)f(x₂) - выпуклая.
f(αx₁ + (1-α)x₂) ≥ αf(x₁) + (1-α)f(x₂) - вогнутая
Для выпуклой функции f’’(x)≥0.
Для вогнутой функции f’’(x)≤0

Теорема 3. Если функция f(x) выпукла (вогнута) на отрезке [a,b], то на любом отрезке [x₁,x₂]⊂[a,b] график функции f(x) лежит не выше (не ниже) хорды, проходящей через точки графика с абсциссами x₁ и x₂.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклую функцию. Уравнение хорды: проходящей через x₁ и x₂ имеет вид:
.
Рассмотрим точку c= αx₁ + (1-α)x₂, где aÎ[0,1]

С другой стороны, по определению выпуклой функции имеем f(αx₁ + (1-α)x₂) ≤ αf₁ + (1-α)f₂; поэтому f(c) ≤ g(c) ч.т.д.

Для вогнутой функции доказательство аналогично.
Доказательство сходимости итерационного процесса рассмотрим для случая выпуклой (вогнутой) функции.

Теорема 4. Пусть задана непрерывная: дважды дифференцируемая функция f(x) на [a,b] и пусть f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на [a,b] (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказательство: Рассмотрим для примера случай f(a)f’’(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x_n > x_n-1 так как (b-x_n-1)>0, а f_n-1/(f_b-f_n-1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x₀<x₁<x₂<…<x_n≤ b
Докажем теперь, что все приближения x_{n <} ξ, где ξ - корень. Пусть x_n-1 < ξ. Покажем, что x_n тоже меньше ξ. Введем
x_n=α·x_n-1+(1-α)·b; ε=μ·α_n-1+(1-μ)·b (3.11)
Имеем
y(x_n)=α·f_n-1+(1-α)·f_b = f(ε) (3.12)
(то есть значение функции y(x) в точке x_n на хорде [x_n-1; b] совпадает с f(ξ)).
Так как f(ε)≤μ·f_n-1+(1-μ)·f_b, то из (3.12) следует
α·f_n-1+(1-α)·f_b≤μ·f_n-1+(1-μ)·f_b или α(f_n-1-f_b)≤μ(f_n-1-f_b) (3.13)
Для рис. 1а f_n-1<f_b, следовательно
α(f_b-f_n-1)≥μ(f_b-f_n-1) или α≥μ значит x_n<ε, и т.д. (см. (3.11)).

Для рис 2а f(ε)≥μ·f_n-1+(1-μ)·f_b. Следовательно, из (3.12) получим
α·f_n-1+(1-α)·f_b≥μ·f_n-1+(1-μ)·f_b значит
α(f_n-1-f_b)≥μ(f_n-1-f_b) так как f_n-1>f_b → α>μ → x_n≤ε и т.д.
Аналогичное доказательство для рис.1б и рис.2б. Таким образом, мы доказали, что последовательность чисел {x_i} является сходящейся.
a≤x₀<x₁<x₂<…<x_n≤ξ≤ b (рис.1а,2а).
a≤ ξ<x_n< … <x₁<x₀≤ x₀≤ b (рис.1б,2б).
Это значит, что для любого ε можно указать такое n, что будет выполняться |x_n - ξ |<ε. Теорема доказана.
Сходимость метода хорд линейная с коэффициентом .
, (3.14)
где m₁=min|f’(x)|, M₁=max|f’(x)|.
Это вытекает из следующих формул. Рассмотрим случай неподвижного конца b и f(b)>0.
 Имеем из (3.9) . Отсюда
. Учитывая, что , мы можем записать  или
.
Заменяя в знаменателе правой части (ξ-x_n-1) на (b-x_n-1) и учитывая, что (ξ-x_n-1)< (b-x_n-1), получим , что и требовалось доказать (см. неравенство (3.14)).
Доказательство сходимости для случая рис.3 (f’’(x) меняет знак; в общем случае как  f’, так и f’’ могут менять знаки) более сложное и здесь не приводится.

Скачать решение

Алгоритм метода хорд

Реализация алгоритма метода хорд на Pascal

Procedure Hord(A,B:Real; E:Real; var X, Fx:Real;n:integer); 
var
X0,Fa,Fb:real;
Begin
if dF2(A,n)*F(A,n) > 0 then
    begin
    X:=B;X0:=A;
    Fa:=F(A,n);
    while (Abs(X0-X)>E) do
        begin
        X0:=X;
        Fx:=F(X0,n);
        X:=X0-Fx*(X0-A)/(Fx-Fa);
        end
    end
else begin
    X:=A;X0:=B;
    Fb:=F(B,n);
    while (Abs(X0-X)>E) do
        begin
        X0:=X;
        Fx:=F(X0,n);
        X:=X0-Fx*(B-X0)/(Fb-Fx);
        end
    end;
Fx:=F(X,n);
End;

Примеры решения

Пример 2. В задачах определить количество действительных корней уравнения f(x) = 0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0.001.