Вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины
Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределённой случайной величины X. Требуется найти:а) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a , b );
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-а окажется меньше d.
Нормальное распределение
Если непрерывная случайная величина имеет плотность распределения:
то она подчиняется закону нормального распределения, где e и π – математические постоянные (e ≈ 2,7182; π ≈ 3,1415); x – варианты вариационного ряда; xср – их средняя величина; σ – среднее квадратическое отклонение.
Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами – средней арифметической и средним квадратическим отклонением σ.
Если обозначим 
то величину 
назовем нормированной функцией. Эта функция табулирована.
Для нормированной случайной величины t математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице. Определенный интеграл вида 
носит название нормированной функции Лапласа и характеризует площадь под кривой в промежутке от 0 до t.
Нормально распределенные непрерывные случайные величины встречаются в практических задачах чаще всего. Это связано, в частности, с Центральной предельной теоремой Ляпунова, которая утверждает, что если случайная величина порождена несколькими примерно равными по силе причинами, то она становится нормально (или почти нормально) распределенной.
Плотность (дифференциальная функция) нормального распределения равна 
, т.е. зависит от двух параметров: математического ожидания a и среднего квадратического отклонения σ. Интегральная функция нормального распределения связана с функцией Лапласа 
или 
, значения которой берутся из таблиц. Для вычисления вероятности того, что нормально распределенная случайная величина X будет принимать значения в промежутке (α β) используется формула:
.
Эта формула получается следующим образом. Чтобы оценить вероятность попадания в интервал от 0 до x, рассчитаем: 
.
Пусть a=x1, b=x2. Для определения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины x в заданный интервал (x1; x2) находим разность Fx2-Fx1, т.е.
.
Параметр σ характеризует положение графика функции на числовой оси, параметр σ(σ > 0) — степень сжатия или растяжения графика плотности (рис. 2).
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно M(X)=α, дисперсия D(X)=σ2.
Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных, оно применяется для приближенного описания многих случайных явлений. Например, с помощью нормального распределения описывают рассеяние снарядов при стрельбе по цели; отклонение фактического размера изделия от заданного; оно применяется и во многих других ситуациях, когда на интересующий нас признак действует большое количество независимых случайных факторов.
Особенности кривой нормального распределения
- кривая симметрична относительно максимальной ординаты, которая соответствует = Mo = Me, ее величина равна xср;
- кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. При этом, чем больше значения отклоняются от , тем реже они встречаются;
- равновероятны одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной x от ;
- кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии ±s от ;
- при = const с увеличением s кривая становится более пологой. При s= const с изменением кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс;
- в промежутке ±s (при t=1) находится 68,3 % всех значений признака; в промежутке ±2s (при t=2) находится 95,4 % всех значений признака; в промежутке ±3s (при t=3) – 99,7 % всех значений признака.
Пример №1. x~N(2,1). Найти P(1 ≤ x ≤ 4).
Решение. Здесь xср = 2, σ = 1. Тогда t1 = (1-2)/1 = -1; t2 = (4-2)/1 = 2.
P(1 ≤ x ≤ 4) = Ф(2) - Ф(-1) = Ф(2) + Ф(1). По таблице Лапласа находим: Ф(2) = 0.4772; Ф(1) = 0.3413.
P(1 ≤ x ≤ 4) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185
Пример №2. Случайная величина X распределена нормально. Её математическое ожидание a = 2, а среднее квадратическое отклонение σ=5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).
Решение. Воспользуемся калькулятором
.
По условию a=2, σ=5, α=1, β=4, следовательно,
Таким образом, P(1 < X < 4) = Фo(0.4) - (-Фo(0.2))
По таблице значений функции Лапласа (см. ниже) находим: Фo(0.4)=0.155; Фo(0.2)=0.079.
Таким образом, искомая вероятность равна P(1 < X < 4) = 0.234
Пример №3. Известны математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины Х. Построить график функции плотности и функции распределения этой случайной величины.
Решение.
