Вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины
Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределённой случайной величины X. Требуется найти:а) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a , b );
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X-а окажется меньше d.
Нормально распределенные непрерывные случайные величины встречаются в практических задачах чаще всего. Это связано, в частности, с Центральной предельной теоремой Ляпунова, которая утверждает, что если случайная величина порождена несколькими примерно равными по силе причинами, то она становится нормально (или почти нормально) распределенной.
Плотность (дифференциальная функция) нормального распределения равна 
, т.е. зависит от двух параметров: математического ожидания a и среднего квадратического отклонения σ. Интегральная функция нормального распределения связана с функцией Лапласа 
или 
, значения которой берутся из таблиц (см.ниже). Для вычисления вероятности того, что нормально распределенная случайная величина X будет принимать значения в промежутке (α β) используется формула:
.
Пример №1. Случайная величина X распределена нормально. Её математическое ожидание a = 2, а среднее квадратическое отклонение σ=5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).
Решение. Воспользуемся калькулятором
.
По условию a=2, σ=5, α=1, β=4, следовательно,
Таким образом, P(1 < X < 4) = Фo(0.4) - (-Фo(0.2))
По таблице значений функции Лапласа (см. ниже) находим: Фo(0.4)=0.155; Фo(0.2)=0.079.
Таким образом, искомая вероятность равна P(1 < X < 4) = 0.234
Таблица значений функции Лапласа
Пример №2. Известны математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины Х. Построить график функции плотности и функции распределения этой случайной величины.
Решение.
